高考数学一轮总复习教学课件第三章　一元函数的导数及其应用第2节　导数与函数的单调性.pptxVIP

第2节导数与函数的单调性;[课程标准要求]

1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).;积累·必备知识;1.函数的单调性与导数的关系;函数f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),则f′(x)≥0(f′(x)≤0),

“f′(x)0(f′(x)0)在(a,b)上恒成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增(减)”的充分不必要条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f′(x)=3x2≥0.;2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步,确定函数的;

第2步,求出导数f′(x)的;

第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.;1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).

(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.()

(2)在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.()

(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0,则f(x)在定义域上一定单调递增.

()

(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.();2.(选择性必修第二册P97习题5.3T2改编)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为()

A.(-1,1) B.(0,1)

C.(1,+∞) D.(0,2);解析:f(x)的定义域为(0,+∞),解不等式f′(x)=0,可得0x1,故函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为(0,1).

故选B.;3.若函数f(x)=x3+x2+ax-1是R上的单调函数,则实数a的取值范围是();(-2,+∞);02;考点一求不含参数函数的单调区间

[例1](1)函数f(x)=e-xcosx,x∈(0,π)的单调递增区间为();(2)(2024·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f′(2)ex-2-f(0)x+x2,则f(x)的单调递减区间为()

A.(-∞,0) B.(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(0,+∞);解析:(2)由题设f′(x)=f′(2)ex-2-f(0)+x,

则f′(2)=f′(2)-f(0)+2,可得f(0)=2,

即f(0)=f′(2)e-2=2,则f′(2)=2e2,

所以f(x)=2ex-2x+x2,得f′(x)=2ex-2+x,

则f′(0)=0且f′(x)单调递增,

当x0时,f′(x)0,即f(x)单调递减,

故f(x)的单调递减区间为(-∞,0).故选A.;求函数的单调区间的步骤:

(1)确定函数y=f(x)的定义域.

(2)求导数f′(x).

(3)解不等式f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.

(4)解不等式f′(x)0,解集在定义域???的部分为单调递减区间.

注意:(1)不能漏掉求函数的定义域;

(2)函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.;[针对训练](多选题)下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是

()

A.f(x)=x2- B.f(x)=xex

C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx;解析:对于A,f′(x)=2x+0在(0,+∞)上恒成立,

因此函数f(x)=x2-在(0,+∞)上是增函数,故A正确;;考点二含参函数的单调性讨论

[例2]已知函数f(x)=[ax2-(3a+2)x+3a+4]·ex,a∈R.讨论函数f(x)的单调性.;当a≠0时,令f′(x)=0,则x1=1,;当a0时,;则f′(x)0,f(x)单调递增;;当0a2时,f(x)在(-∞,1),;研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点:

(1)最高次项系数是否为0.

(2)导函数是否有零点.

(3)导函数两零点的大小关系.;(4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等.

注意:(1)若函数的导数中自变量的最高次数含参数,需要考虑参数的正负对函数单调性的影响.

(2)若导函数的解析式的主要部分是二次多项式或者可转化为二次多项式且不能够因式分解,则需要考虑二次多项式是否存在零点,这里需要对判别式(Δ≤0和Δ0)分类讨论.;[针对训练]已知函数f(x)=-alnx,a∈R,求f(x)的单调区间.;当x∈(,+∞)时,f′(x)0,

所以f(x)的单调递增区间为(,+∞).

综上所述,当a≤