专题02 最短路径问题2（原卷版）.pdfVIP

最短路径问题2

模型讲解

【模型1】

蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A点爬行n圈到B点的最短路径？

【解决方法一】

n

（1）AB=nAC=(2r)2h2n；

【解决方法二】

（2）AB=(2nr)2H2

【结论】

最短路径可分圈计算，亦可整体计算，注意：异侧半周长、同侧整周

长

【模型2】

蚂蚁吃蜂蜜问题：蚂蚁从圆柱体的外壁A处爬行到内壁B处的最短路径？

【路径演示】

由图可知蚂蚁爬行的最短路径A’B=(r)2h2

方法点拨

一、解决方法：

①确定水平方向移动路程②确定竖直方向移动路程

③利用勾股定理求解

二、方法解析：如图：点从点A出发到C点，可以看成

先从A到D（水平移动），再D到C

（竖直移动）两个步骤完成

。

例题演练

1．．如图所示，在正三棱柱ABCABC中，已知AB＝BC＝CA＝2，AA＝4，

1111

一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点A1，则蚂蚁爬行的最短距离为

（）

A．B．2+2C．4D．4

【解答】解：如图，把侧面展开两周，矩形对角线即为蚂蚁爬行的最短距离，

蚂蚁爬行的最短距离＝＝4，

故选：D．

2．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的

点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对

的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不

计）（）

A．12cmB．17cmC．20cmD．25cm

【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，

作A关于EF的对称点A′，

则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，

∵A′B＝＝＝＝17（cm），

∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，

故选：B．

3．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接

AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．

（2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算

过程．

（3）求代数式+的最小值．

【解答】解：（1）AC+CE＝；

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，

过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，

则DF＝AB＝4，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝2+4＝6，

所以，

则AC+CE的最小值为10；

（3）构造图形作BD＝4，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝

1，

C为线段BD上一动点，设BC＝x，

当A、C、E三点共线时，AE的长即为代数式