等式性质与不等式性质高一上学期数学人教A版（2019）必修一.pptx

章引言

相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题。在初中，我们已学过一次函数与方程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程(组)不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现.

本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值;在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要不等式一类基本不等式;通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法.

2.1等式性质与不等式

性质

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.

新课引入

问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

（1）某路段限速40km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，

蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．

对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，则0v40．

新课引入

对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+bc，a－bc．

对于（4），设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂

足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CDCE．

新课引入

问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

（1）某路段限速40km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，

蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．

问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?

新课引入

在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？

回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．

基本事实

基本事实

要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.

例3比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．

解析因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)

=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)

=20，

所以(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)．

这里，我们借助多项式减法运算，得出一个明显大于0的数（式）．

这是解决不等式问题的常用方法．

例题巩固

作差法比较大小的基本步骤：

（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；

（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；

（3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；

（4）作出结论．

这种比较大小的方法通常称为作差比较法．

其思维过程：作差→变形→判断符号→作出结论，

其中变形是判断符号的前提．

例题巩固

例3比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．

解析因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)

=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)

=20，

所以(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)．

这里，我们借助多项式减法运算，得出一个明显大于0的数（式）．

这是解决不等式问题的常用方法．

作差

变形

判断符号

作出结论

例题巩固

例题巩固

例题巩固

例题巩固

重要不等式

由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和

重要不等式

等式的性质

等式有下面的基本性质

可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算

中保持的不变性．

（运算的不变性即