基本不等式高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

2.2基本不等式

知识回顾-解一元二次不等式方法总结

分式不等式

把分式不等式转化为一元二次不等式求解．

简单分式不等式

简单分式不等式

简单分式不等式

重要不等式:

另证：因为a2+b2－2ab=(a－b)2≥0,

所以a2+b2≥2ab.

（当且仅当a=b时，等号成立）

知识回顾-重要不等式

重要不等式→基本不等式

基本不等式

（当且仅当a=b时，等号成立）

基本不等式（均值不等式）:

基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式

基本不等式的证明

分析法

思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？

当且仅当a=b时，不等式中的等号成立．

所以原不等式成立．

该证明方法称为分析法

当且仅当a=b时等号成立.

综合法

基本不等式的证明

基本不等式的几何解释

如图，可证△ACD∽△DCB，则CD=，半径为，

圆的半径大于或等于CD，用不等式表示为，

当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．

半径是圆中最长的半弦

重要不等式与基本不等式的异同：

不等式

适用范围

a,b∈R

a0,b0

文字叙述

两数的平方和不小于他们积的两倍

两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数

“=”成立的条件

a=b

基本不等式

例题巩固

积定和最小，和定积最大.

例题巩固

利用基本不等式求最值时，需满足:

（1）a，b必须是正数.（正）

（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；

当ab为定值时，便可求a+b的最小值.（定）

（3）当且仅当a=b时，等式成立.（相等）

方法总结

基本不等式

基本不等式

基本不等式

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

方法技巧：

在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能.

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

题型二：利用基本不等式求最值

基本不等式模型的应用

题型二：利用基本不等式求最值

基本不等式模型的应用

方法技巧：

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形.

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

(4)注意“1”的妙用.

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

基本不等式模型的应用

方法技巧：

1.可利用基本不等式证明题目的类型

所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明.

2.用基本不等式证明不等式的注意点

(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立.

(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用.

(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组基本不等式模型，再使用.

基本不等式模型的应用

重要不等式

基本不等式

等号成立的条件

当且仅当a=b时，等号成立

课堂小结

利用基本不等式求最值时，需满足:

（1）a，b必须是正数.（正）

（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；

当ab为定值时，便可求a+b的最小值.（定）

（3）当且仅当a=b时，等式成立.（相等）

课堂小结

角度1“1”的代换、消元、构造定值法求最值

解析法一(1的代换)

拓展-基本不等式的灵活运用

解①②可得x＝4，y＝12.

所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.

拓展-基本不等式的灵活运用

所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.

当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值是16.

答案16

拓展-基本不等式的灵活运用

解析正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，

拓展-基本不等式的灵活运用

拓展-基本不等式的灵活运用

拓展-基本不等式的灵活运用

A.10 B.9 C.8 D.7

答案B

拓展-基本不等式的灵活运用

拓展-基本不等式的灵活运用

拓展-基本不等式的灵活运用

答案C

拓展-基本不等