高考数学常考点不等式三种出题模式.docVIP

高考数学常考点不等式三种出题模式

高考数学常考点不等式三种出题模式

高考数学常考点不等式三种出题模式

高考数学常考点不等式三种出题模式

一、简单得线性规划问题

简单得线性规划问题是高考得热点之一，是历年高考得必考内容，主要以填空题得形式考查最优解得最值类问题得求解，高考得命题主要围绕以下几个方面：

（1）常规得线性规划问题，即求在线性约束条件下得最值问题;

(2）与函数、平面向量等知识结合得最值类问题；

(3)求在非线性约束条件下得最值问题；

(４）考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中得应用、而其中得第（2）(3）(4）点往往是命题得创新点。

【例１】设函数ｆ(）=?３？ｓin?＋？?coｓ?，其中,角得顶点与坐标原点重合,始边与ｘ轴非负半轴重合，终边经过点?P(x，ｙ）？,且0?。

（１）若点Ｐ得坐标为１2，32，求f(）得值;

（2）若点P(x,y）为平面区域：x+ｙ1,y1。上得一个动点，试确定角得取值范围，并求函数ｆ（）得最小值和最大值。

分析第（1)问只需要运用三角函数得定义即可；第（２)问中只要先画出平面区域，再根据抽画出得平面区域确定角得取值范围,进而转化为求f（）=a？sin？+ｂ?cｏs？型函数得最值。

解(１）由点P得坐标和三角函数得定义可得?sin？=32,？cos？=１2。

于是f（）=3?ｓin？+?？cos？＝?３３2＋1２=2。

(2）作出平面区域（即三角形区域ABＣ)如图所示,其中Ａ(1，０)，Ｂ（1，1)，?C（0，1）?、于是0?2，

又f（）=3？sin?+?cos？=２?sｉn?＋??6，

且?＋??？２？?3,

故当＋？？2,即=?？３时,f(）取得最大值，且最大值等于2；

当+?？６，即=0时，f（）取得最小值，且最小值等于1。

点评本题中得最大得亮点在于以解答题得形式将线性规划中得基础内容平面区域与三角函数得求值进行了得有机综合,过去历年高考对线性规划考查中并不多见。

二、基本不等式

基本不等式是不等式得重要内容，也是历年高考重点考查得知识之一。它得应用几乎涉及高中数学得所有得章节，高考命题得重点是大小判断、求最值、求范围等。大多为填空题，试题得难度不大，近几年得高考试题中也出现了不少考查基本不等式得实际应用问题。

【例2】心理学家研究某位学生得学习情况发现:若这位学生刚学完得知识存留量为1，则x天后得存留量y?1=4x+４；若在t(t0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习得时间忽略不计），其后存留量y?2随时间变化得曲线恰好为直线得一部分,其斜率为a（t+４）?2（？a

（１)若ａ＝-１，t=5，求二次复习最佳时机点；

(2)若出现了二次复习最佳时机点,求a得取值范围、

分析关键是分析图像和理解题目所表示得含义,建立函数关系，再用基本不等式求最值、

解设第一次复习后得存留量与不复习得存留量之差为ｙ，

由题意知,y？2=a（t+4）?2（?x—？t）+8t＋4(？ｔ？4）,

所以y=ｙ？2-ｙ？1=ａ(ｔ+４）?2(x－t）＋8ｔ+4—4x＋4(ｔ４）。

当a=－1，t=5时，

y＝－１(5+4)?２(x－5)+８5+4—4ｘ+4

=－（x＋４)81－4x＋4+？1？－２481+1=59，

当且仅当x=1４时取等号，所以二次复习最佳时机点为第1４天、

（２）ｙ=a（t+4）？2（ｘ－t)+8t+4－4ｘ+4？=－－ａ(x+4)(t+４)？２－?4x+４＋8t+4-a（t+４)(ｔ+4）？2？－2－4a(t+4)？2+？8-ａt+４,当且仅当—a（ｘ+4）（t+4）？2？=4x+4?即x=2—a（t+4）-4时取等号，

由题意2－a(ｔ+４）－4t,所以-4

点评基本不等式在每年得高考中几乎是从不缺席得,关键是要注意运用基本不等式得条件：一正、二定、三相等。

三、不等式得求解

【例3】对于问题：已知关于ｘ得不等式ax?2+bx+c0得解集为（—1，２）,解关于x得不等式ax?2－bx+c,给出如下一种解法：

参考上述解法，若关于ｘ得不等式kx＋ａ+x+bx+c0得解集为－1，—131２,１，则关于x得不等式kxax＋1＋bx+1cx＋1０得解集为??。

分析观察发现aｘ?2＋？bx+？ｃ0将x换成？—x得?？ａ（—ｘ）？2＋？b（－x)+c0，则解集也相应变化，－ｘ(－1,２)，则？ｘ？(-2，１），不等式ｋx＋a＋ｘ＋bx+c0将x换成1x得不等式kxax+１+bx＋１cx＋10，故1x－1,-1312，1，分析可得答案。

解由ax?2+ｂx+c０得解集为（—１,2），得a(－ｘ)？２+b（—ｘ)+c0得解集为(？—2？，1)，即关于ｘ得不等式ax？２—bx+c0得解集为（-2