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2.5等比数列前n项和(一);1.记住等比数列前n项和公式,能够利用公式求等比数列前n项和.
2.掌握前n项和公式推导方法.
;1.在等比数列{an}中,若公比q=1,,则其前n项和Sn=________.
答案:na1
2.在等比数列{an}中,若公比q≠1,则其前n项和Sn=________=________.
;1.等比数列前n项和公式与函数有哪些关系?
;当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,是n正百分比函数(常数项为0一次函数).
(2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…图象是函数y=-Aqx+A图象上一群孤立点.当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…图象是正百分比函数y=a1x图象上一群孤立点.
2.数列a,a2,a3,…,an,…一定是等比数列吗?
答案:不一定,比如当a=0时,数列就不是等比数列.
;1.等比数列1,a,a2,a3,…前n项和为()
;2.数列{2n-1}前99项和为 ()
A.2100-1 B.1-2100
C.299-1 D.1-299
;2.数列{2n-1}前99项和为 ()
A.2100-1 B.1-2100
C.299-1 D.1-299
;3.若等比数列{an}前3项和为13,首项为1,则其公比为__________.
;答案:1
;1.等比数列前n项和公式推导
设等比数列a1,a2,a3,…,an,…它前n项和是Sn=a1+a2+…+an.
由等比数列通项公式可将Sn写成
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①
①式两边同乘以q得,
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn. ②
①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,由此得q≠1时,
;当q=1时,Sn=na1.
以上推导方法叫做“错位相减法”.这是中学数学里比较主要一个求和方法,要多专心体会.
;尤其提醒:(1)等比数列前n项和公式及通项公式包括五个量:a1,q,n,an,Sn,只要知道其中任意三个量,都能够经过建立方程(组)等伎俩求出其余两个量,俗称“知三求二”.
(2)在应用公式求和时,应注意到公式使用条件为q≠1,当q=1时应按常数列求和,即Sn=na1.在解含字母参数等比数列求和问题时,应分别讨论q≠1与q=1两种情况.
;第14页;2.等比数列判定方法
(1)an+1=anq(an≠0,q是不为0常数,n∈N*)?{an}为等比数列.
(2)an=cqn(c,q均是不为0常数,n∈N*)?{an}是等比数列.
(3)an+12=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比数列.
;题???一等比数列前n项和公式基本运算
;第17页;第18页;第19页;第20页;方法点评:(1)这是一类基础题,要熟练应用等比数列通项公式及前n项和公式,利用方程思想,处理两个最基本量:首项a1和公比q.在等比数列求和问题中,经常使用整体代换思想.
(2)在使用等比数列前n项和公式时,要注意讨论公比q=1和q≠1两种情况.
;1.若本例(1)中条件不变,怎样求{an}通项公式?
;第23页;题型二错位相减法求和
;第25页;2.求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).
;第27页;题型三判断等比数列
;∴数列{an}通项公式为an=(a2-1)a2n-2(n∈N*).
即数列{an}是首项为a2-1,公比为a2等比数列.
方法点评:将已知条件Sn=a2n-1与an=Sn-Sn-1结合起来,得到n≥2时通项公式an=(a2-1)a2n-2,尤其注意是,n=1时即a1=a2-1能否统一到an=(a2-1)·a2n-2中去,假如能统一起来,则数列{an}为等比数列,不然数列{an}不是等比数列.
;(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等比数列.
;第31页;误区解密遗漏q=1而造成错误
【例4】在数列{an}中,an=a2n-an(a≠0)求{an}前n项和Sn.
;错因分析:等比数列求和,一定要注意公比是否等于1,不然将造成错误.
;第34页;课堂总结;2.在等比数列中五个量Sn,n,a1,q,an中,由前n项和公式结合通项公式,知道三个量便可求其余两个量,同时还能够利用前n项和公式解与之相关实际问题.
3.错位相减法是数列求和主要方法,必须了解数列特征及掌握求和方法.
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