第04讲二次函数与一元二次方程、不等式的关系(原卷版+解析).docxVIP

第4讲二次函数与一元二次方程、不等式间的关系

考点一：二次函数与方程的关系

【知识点睛】

求两函数图象的交点

对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:

①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0；

②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；

③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得

，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；

判断抛物线与直线的交点个数

对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:

①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0

△=b2-4ac，

∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点；

△＝0，抛物线与x轴有1个交点；

△＜0，抛物线与x轴无交点；

②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→

整理得：，

∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点；

△＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点；

△＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点；

③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→

整理得：，后续求交点个数方法同上。

一元二次方程ax2+bx+c=n的解的几何意义

将“=”左边的部分看作抛物线y＝ax2+bx+c，“=”右边的部分看作水平直线y＝n，则方程ax2+bx+c=n即在两函数图象的交点横坐标，所以交点横坐标的值就是方程的解。

【类题训练】

1．方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标，其中正确的个数是（）

①②③④

A．4 B．3 C．2 D．1?

2．若抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（）

A．m≥2 B．0＜m≤2 C．0＜m≤7 D．2≤m＜7

3．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（）

A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣1

B．当x＝﹣1时，函数有最大值是4

C．当x＝﹣3或x＝1时，函数有最小值是0

D．当﹣1＜x＜1或x＜﹣3时，函数值随值的增大而减小

4．抛物线交x轴于O（0，0），A两点，将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于另一点A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于另一点A2；…，如此进行下去，形成如图所示的图象，则下列各点在图象上的是（）

A．（2022，1） B．（2022，﹣1） C．（2023，1） D．（2023，﹣1）

5．抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（）

A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3

6．抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（）

A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或3

7．关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（）

A． B． C．2 D．3

8．如表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c中x与y的几组对应值：

x

…

﹣1

0

1

2

…

y

﹣1

2

…

下列说法错误的是（）

A．图象开口向下

B．顶点坐标为（1，2）

C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小

D．这个函数的图象与x轴无交点

9．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（）

A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定

10．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：

x

……

﹣2

﹣1

0

1

2

……

y

……

﹣1

0

﹣3

﹣4

﹣3

……

由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）

A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣1

11．二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．若关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解．则t的取值范围是（）

A．0≤t＜4 B．0≤t＜9 C．4＜t＜9 D．t≥0

12．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：

x

…

﹣2

﹣1

0

1

2

…

y

…

﹣1

2

3

2