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专题09幂函数与二次函数(新高考专用)
目录
目录
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】幂函数的图象和性质 6
【考点2】求二次函数的解析式 9
【考点3】二次函数的图象与性质 13
【分层检测】 18
【基础篇】 18
【能力篇】 25
【培优篇】 27
考试要求:
1.了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=xeq\f(1,2),y=eq\f(1,x)的图象,了解它们的变化情况;
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识梳理
知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c
(a0)
y=ax2+bx+c
(a0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac-b2,4a),+∞))
eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(4ac-b2,4a)))
对称轴
x=-eq\f(b,2a)
顶点
坐标
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),\f(4ac-b2,4a)))
奇偶性
当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是减函数;
在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是增函数
在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是增函数;
在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0,,Δ0))时,恒有f(x)0;当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0,,Δ0))时,恒有f(x)0.
3.(1)幂函数y=xα中,α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质;
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限.
真题自测
真题自测
1.(2023·全国·高考真题)设函数在区间上单调递减,则的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
2.(2021·全国·高考真题)设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是(????)
A. B. C. D.
3.(2023·天津·高考真题)设,则的大小关系为(????)
A. B.
C. D.
4.(2022·天津·高考真题)已知,,,则(??????)
A. B. C. D.
二、填空题
5.(2020·江苏·高考真题)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,,则f(-8)的值是.
三、解答题
6.(23-24高一下·上海·期中)已知幂函数为奇函数,且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式;
(2)对任意实数,不等式恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案:
1.D
【分析】利用指数型复合函数单调性,判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增,而函数在区间上单调递减,
则有函数在区间上单调递减,因此,解得,
所以的取值范围是.
故选:D
2.C
【分析】设,由,根据两点间的距离公式表示出,分类讨论求出的最大值,再构建齐次不等式,解出即可.
【详解】设,由,因为,,所以
,
因为,当,即时,,即,符合题意,由可得,即;
当,即时,,即,化简得,,显然该不等式不成立.
故选:C.
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值,利用二次函数求指定区间上的最值,要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.
3.D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增,则,
由在上递增,则.
所以.
故选:D
4.C
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