专题09 幂函数与二次函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题09幂函数与二次函数（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 6

【考点1】幂函数的图象和性质 6

【考点2】求二次函数的解析式 9

【考点3】二次函数的图象与性质 13

【分层检测】 18

【基础篇】 18

【能力篇】 25

【培优篇】 27

考试要求：

1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝eq\f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知识梳理

知识梳理

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数

y＝ax2＋bx＋c

(a0)

y＝ax2＋bx＋c

(a0)

图象

(抛物线)

定义域

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

对称轴

x＝－eq\f(b,2a)

顶点

坐标

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时，恒有f(x)0；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时，恒有f(x)0.

3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；

(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.

真题自测

真题自测

1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

4．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（??????）

A． B． C． D．

二、填空题

5．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是.

三、解答题

6．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.

(1)求函数的表达式；

(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.

参考答案：

1．D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，

则有函数在区间上单调递减，因此，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

2．C

【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】设，由，因为，，所以

，

因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；

当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

3．D

【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由在R上递增，则，

由在上递增，则.

所以.

故选：D

4．C