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模型介绍
模型介绍
1.射影定理定义
①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
2.如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,有射影定理如下:
①AD2
①AD2=BD?DC;
②AB2=BD?BC;AC2=CD?BC.
?注意:直角三角形斜边上有高时,才能用射影定理!
例题精讲
例题精讲
【例1】.在矩形ABCD中,BE⊥AC交AD于点E,G为垂足.若CG=CD=1,则AC的长是.
【例2】.如图:二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若AC⊥BC,则a的值为()
A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.﹣2
【例3】.将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()
A.3 B.8 C. D.2
?变式训练
【变式1】.如图,在△ABC中,若AB=AC,BC=2BD=6,DE⊥AC,则AC?EC的值是.
【变式2】.如图所示,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC,BD交于O,且BE:ED=1:3,AD=6cm,则AE=cm.
【变式3】.如图,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,若∠OAC=∠OCB.则ac的值为()
A.﹣1 B.﹣2 C. D.
【变式4】.如图,正方形ABCD中,E为AB上一点,AF⊥DE于点F,已知DF=5EF=5,过C、D、F的⊙O与边AD交于点G,则DG=____________.
【变式5】.如图,在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H,连AD、ED、EC.若BD=8,DC=6,则CE的长为.
【变式6】.如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A作AE⊥BC交BC于点E,点F在BC的延长线上,且CF=BE,连接DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)连接AC,若∠ACD=90°,AE=4,CF=2,求EC和AC的长.
实战演练
实战演练
1.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为点E.若sin∠ADE=,AD=4,则AB的长为()
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在矩形ABCD中,BD=2.对角线AC与BD相交于点O,过点D作AC的垂线,交AC于点E,AE=3CE.则DE2的值为()
A.4 B.2 C. D.4
3.如图,在正方形ABCD内,以D点为圆心,AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P,延长CP、AP交AB、BC于点M、N.若AB=2,则AP等于()
A. B. C. D.
4.如图,点P是⊙O的直径BA延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,CD⊥AB,垂足为D,连接AC、BC、OC,那么下列结论中:①PC2=PA?PB;②PC?OC=OP?CD;③OA2=OD?OP;④OA(CP﹣CD)=AP?CD,正确的结论有()个.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=8,点E为AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,则CF长.
6.如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,把△ABE沿直线BE翻折,得到△GBE,BG的延长线交CD于点F.F为CD的中点,连结CG,若点E,G,C在同一条直线上,FG=1,则CD的长为,
cos∠DEC的值为.
7.如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1分别交x轴,y轴于点A,B,过点B作BC⊥AB交x轴于点C,过点C作CD⊥BC交y轴于点D,过点D作DE⊥CD交x轴于点E,过点E作EF⊥DE交y轴于点F.已知点A恰好是线段EC的中点,那么线段EF的长是.
8.如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E,连接BE,点P是线段BE上一动点,作P关于直线DE的对称点P,点Q是AC上一动点,连接PQ,DQ.若AE=14,CE=18,则DQ﹣PQ的最大值为.
9.在矩形ABCD中,点E为射线BC上一动点,连接AE.
(1)当点E在BC边上时,将△ABE沿AE翻折,使点B恰好落在对角线BD上点F处,AE交BD于点G.
①如图1,若BC=AB,求∠AFD的度数;
②如图2,当AB=4,且EF=EC时,求BC的长.
(2)在②所得矩形ABCD中,将矩形ABCD沿AE进行翻折,点C的对应点为C,当点E,C,D三点共线时,求BE的长.
10.如图,已知⊙O的半径为2,AB为直径,CD为弦,AB与CD交于点M,将弧CD沿着CD翻折后
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