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逆等线最值模型大招
逆等线最值模型
大招
模型介绍
模型介绍
两线段和的最值问题,大家首先想到的都是“将军饮马”问题,即要求的两条线段有公共端点,或者平移后有公共端点.
除了将军饮马问题外,还有一类两线段和的最值问题,两个动点的运动过程中,两条动线段始终保持着相等,我们可以在等线段处构造全等,从而将要求的两条线段拼接到一起,这就是今天咱们要说的逆等线最值问题.
讲逆等线模型之前我们先来一波回忆:
下图大家应该很熟:
D为动点!特殊化证明:DE+DF的和为定值.
一般化证明:DE+DF的和为定值
只要保证DE,DF与腰的夹角相等,总会有:DE+DF的和为定值的结论!
证明思路:
作AG∥FD,HD∥BC易得红蓝全等,黄色平四
∴DE+DF=AH+HG=AG(定长)
另证易得:△DEA∽△DFB∵AD+BD为定值∴DE+DF为定值
引申:D在线段AB外时差为定值(证明同理)
然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线!
此图即产生了逆等线,所谓逆等线,逆向也相等!
例题精讲
例题精讲
考点一:等腰三角形中的逆等线模型
【例1】.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D、E分别是AB、AC上两动点,且AD=CE,连接CD、BE,CD+BE最小值为.
?变式训练
【变式1-1】.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=4,D为BC边的中点,点E、F分别是线段AC、AD上的动点,且AF=CE,则BE+CF的最小值是.
【变式1-2】.如图,已知直线AB:y=分别交x轴、y轴于点B、A两点,C(3,0),D、E分别为线段AO和线段AC上一动点,BE交y轴于点H,且AD=CE.当BD+BE的值最小时,则H点的坐标为()
A.(0,4) B.(0,5) C. D.
考点二:等边三角形中的逆等线模型
【例2】.如图,AD为等边△ABC的高,E、F分别为线段AD、AC上的动点,且AE=CF,当BF+CE取得最小值时,∠AFB=°.
?变式训练
【变式2-1】.如图,AH是正三角形ABC中BC边上的高,在点A,C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH,CA向前匀速爬动.确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时,∠PBQ的度数为.
【变式2-2】.在等边△ABC中,AB=4,点E在边BC上,点F在∠ACB的角平分线CD上,CE=CF,则AE+AF的最小值为.
考点三:直角三角形中逆等线模型
【例3】.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,BC=4,D,E分别是AC,AB上的动点,且AD=BE,连结BD,CE,则BD+CE的最小值为.
?变式训练
【变式3-1】.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D,E为AB边上的两个动点,且AD=BE,连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为.
【变式3-2】.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点M,N分别为BC,AC上的动点,且AN=CM,AB=.当AM+BN的值最小时,CM的长为.
考点四:一般三角形中的逆等线模型
【例4】.在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,AC=10,点D、E在AB、AC边上,且AD=CE,则CD+BE的最小值.
?变式训练
【问题背景】(1)如图(1),E为△ABC的边AB上的一点,AE=BC,过点A作AD∥BC,且AD=AB,连接DE,求证:△ADE≌△BAC;
【变式迁移】(2)如图(2),在△ABC中,AC=BC,BD平分∠ABC,点E在AB上,且AE=CD,若点C分别到AB,BD的距离之比为m,求证:;
【拓展创新】(3)如图(3),在△ABC中,∠ABC=45°,,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且AE=CD,直接写出CE+BD的最小值.
考点五:正方形中的逆等线模型
【例5】.如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB、BC上,且AE=BF,CE与DF交于点P,连接BP,求BP的最小值.
?变式训练
【5-1】已知正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是边BC,CD上的两个动点,且满足BE=CF,连接AE,AF,则AE+AF的最小值为.
考点六:矩形中的逆等线模型
【例6】.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E、F分别为边AB、CD上的动点,且AE=CF,则BF+CE的最小值为.
?变式训练
【6-1】.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点,且BE=DF,则AE+AF的最小值是.
【6-2】.如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=4,E,
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