专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版.docx

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专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 3

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用 3

【考点2】诱导公式的应用 4

【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用 6

【分层检测】 7

【基础篇】 7

【能力篇】 8

【培优篇】 9

考试要求：

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.

2.能利用单位圆中的对称性推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

知识梳理

知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2.三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sin__α

－sin__α

sin__α

cos__α

cos__α

余弦

cosα

－cos__α

cos__α

－cos__α

sin__α

－sin__α

正切

tanα

tan__α

－tan__α

－tan__α

口诀

奇变偶不变，符号看象限

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（????）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2．（2021·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

3．（2021·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

4．（2021·全国·高考真题）（????）

A． B． C． D．

二、填空题

5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．

三、解答题

6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.

(1)求；

(2)若D为BC上一点，且，求的面积.

考点突破

考点突破

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用

一、单选题

1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（????）

A． B．

C． D．

4．（2024·全国·模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉?邓纳姆在1994年出版的TheMathematicalUniverse一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（????）

A． B． C． D．

三、填空题

5．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则.

6．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则．

反思提升：

1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化.

(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.

2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.

【考点2】诱导公式的应用

一、单选题

1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（????）

A．3 B． C． D．2

2．（16-17高三上·广西梧州·阶段练习）若，则（??