专题39 空间直线、平面的垂直-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题39空间直线、平面的垂直（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 18

【考点1】直线、平面垂直的判定与性质 18

【考点2】平面与平面垂直的判定与性质 25

【考点3】平行、垂直关系的综合应用 35

【分层检测】 44

【基础篇】 44

【能力篇】 56

【培优篇】 62

考试要求：

从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

知识梳理

知识梳理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

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判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.

(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β

性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α

1.三个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.三种垂直关系的转化

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（????）.

A．1 B．2 C． D．

2．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（????）

A． B．1 C．2 D．3

3．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（????）

??

A． B．

C． D．

4．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（????）

A． B． C． D．

二、解答题

5．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．

(1)若为线段中点，求证：平面．

(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．

6．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．

(1)证明：；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

7．（2024·全国·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．

(1)若，证明：平面；

(2)若，且二面角的正弦值为，求．

8．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

??

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

9．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．

(1)求证：//平面；

(2)若，求三棱锥的体积．

10．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

??

(1)证明：；

(2)已知与的距离为2，求与平面所成角