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湖南省长沙市2025届高三九月学情调研考试数学
模拟试卷
本试卷共10页,19小题,满分150分.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合,则(????)
A. B. C. D.
2.若,,则的值是(????)
A.0.9 B.1.08 C.2 D.4
3.已知非零向量满足,且,则与的夹角为(????)
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为,满足,则(????)
A.-200 B.-100 C.200 D.100
5.若,,则的值为(????)
A. B. C. D.
6.有4名男生?3名女生和2个不同的道具(记作A和B)参与一个活动,活动要求:所有人(男生和女生)必须站成一排,女生必须站在一起,并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列(假设女生的身高各不相同);两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人(可以是男生,也可以是女生),但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有(????)
A.2400种 B.3600种 C.2880种 D.4220种
7.用一个边长为4的正方形纸片,做一个如图所示的几何体,图中两个圆锥等底、等高,则该几何体体积的最大值为(????)
A. B. C. D.
8.设抛物线的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,,,则l的斜率是(????)
A.±1 B. C. D.±2
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.已知复数在复平面内所对应的点分别为,且点均在以坐标原点为圆心.2为半径的圆上,点在第四象限,则(???)
A.点在第一象限 B.
C. D.
10.甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有3个红球,7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.表示事件“从甲罐取出的球是红球”,表示事件“从甲罐取出的球是白球”,B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是(????)
A.、为对立事件 B.
C. D.
11.如图所示,在边长为3的等边三角形ABC中,,且点P在以AD中点O为圆心,OA为半径的半圆上,,则下列说法正确的是(???)
A. B.
C. D.的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.展开式的中间一项的系数为.
13.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图2所示.已知球的半径为,酒杯的容积,则其内壁表面积为.
??
14.已知椭圆的左、右焦点分别为,,以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A,B,若,则C的离心率的最大值是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.中国数学奥林匹克()竞赛由中国数学会主办,是全国中学生级别最高?规模最大?最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员,组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛,预赛成绩合格者可进入决赛.
(1)根据预赛成绩统计,学生预赛的成绩,成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛,试估计进入决赛的人数(结果取整数);
(2)决赛试题共设置了10个题目,其中单选题6题,每题10分,每题有1个正确选项,答对的10分,答错得0分;多选题4题,每题15分,每题有多个正确选项,全部选对得15分,部分选对得5分,有选错得0分.假设甲同学进入了决赛,且在决赛中,每个单选题答对的概率均为;每个多选题得15分?5分?0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望.
附:若,则,
16.已知等差数列满足,.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
17.在直三棱柱中,,,,G是的重心,点Q在线段AB(不包括两个端点)上.
??
(1)若Q为的中点,证明:平面;
(2)若直线与
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