2023年北京市初三一模数学试题汇编：解直角三角形章节综合.docx

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2023北京初三一模数学汇编

解直角三角形章节综合

一、解答题

1．（2023·北京顺义·统考一模）给出如下定义：对于线段，以点P为中心，把点逆时针旋转得到点R，点R叫做线段关于点P的“完美点”，例如等边中，点C就是线段关于点A的“完美点”．

在平面直角坐标系中．

(1)已知点，在，，，中，_____是线段关于点O的“完美点”；

(2)直线上存在线段，若点恰好是线段关于点B的“完美点”，求线段的长；

(3)若，，点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长．

2．（2023·北京平谷·统考一模）计算：．

3．（2023·北京顺义·统考一模）计算：．

4．（2023·北京丰台·统考一模）计算：．

5．（2023·北京通州·统考一模）已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长到点F，使得，连接．

(1)求证：四边形是菱形

(2)如果，且，求的长．

6．（2023·北京通州·统考一模）计算：

7．（2023·北京房山·统考一模）计算：．

8．（2023·北京朝阳·统考一模）计算：．

9．（2023·北京门头沟·统考一模）计算：．

10．（2023·北京西城·统考一模）计算：．

11．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，在菱形中，于E，于F．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)连接，如果，，求的长．

12．（2023·北京海淀·统考一模）计算：．

13．（2023·北京延庆·统考一模）计算：．

参考答案

1．(1)

(2)

(3)，

【分析】（1）根据“完美点”的定义判断即可；

（2）根据“完美点”的定义计算即可；

（3）根据“完美点”的定义画出图形再分别计算即可．

【详解】（1）∵点

∴线段关于点O的“完美点”在第二象限，

∴是线段关于点O的“完美点”；其他点都不符合题意；

故答案为：；

（2）点恰好是线段关于点B的“完美点”，

是等边三角形.

过点O作于点M.

∴，

∴

在直线上，

∴直线与x轴交点为，与y轴交点为

，

.

.

（3）∵点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，

∴、是等边三角形，

∴，，，

当线段取得最大值时，此时在线段上，此时

∵，

∴，

∴；

当线段取得最小值时，此时在线段上，

过作于，则

∴，，

∴

∴．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角函数，一次函数的性质等知识点，解题的关键是理解“完美点”的定义得到等边三角形．

2．

【分析】利用零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的意义求解即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的意义是解题的关键．

3．2

【分析】原式利用特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【详解】原式

【点睛】此题考查了实数的运算，熟练化简各项是解本题的关键．

4．

【分析】先根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的性质和零指数幂的意义分别化简计算各项，再进行加减计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质和零指数幂的意义等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．

5．(1)见解析

(2)的长为10

【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明，进而得出，即可证明四边形是菱形；

（2）根据菱形的性质可得，再利用三角函数、勾股定理解即可．

【详解】（1）证明：点E是边中点，

，

又，

四边形是平行四边形

在中，点D，E分别是边中点，

，，

，

，．

四边形是菱形；

（2）解：由（1）知，四边形是菱形，

，

，

，

，

在中，，

，

解得或（舍），

的长为10．

【点睛】本题考查三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，利用三角函数、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质，牢记三角函数的定义．

6．

【分析】，，，然后混合运算求解即可．

【详解】

．

【点睛】此题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是．

7．

【分析】先求出特殊角的三角函数值、幂的运算并对绝对值、二次根式化简，再进行计算即可．

【详解】解：

.

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角三角函数值是解答本题的关键．

8．

【分析】将特殊角的三角形函数值代入，然后去括号，绝对值，最后进行计算即可得．

【详解】解：

.

【点睛】本题主要考查二次根式的加减混合运算，绝对值，特殊角的三角函数值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．

9．4

【分析】根据算术平方根、零指数幂