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弹性力学优化算法：模拟退火(SA)与其他优化算法比较

1弹性力学与优化算法基础

1.1弹性力学概述

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于三个基本假设：连续性、完全弹性、小变形。在工程设计中，

弹性力学用于预测材料在不同载荷下的行为，确保结构的安全性和稳定性。

1.1.1应力与应变

应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用σ表示，单位是帕斯

卡（Pa）。

应变（Strain）：材料在外力作用下的变形程度，通常用ε表示，

是一个无量纲的量。

1.1.2弹性模量

杨氏模量（Young’sModulus）：描述材料在拉伸或压缩时的弹性

性质，定义为应力与应变的比值。

泊松比（Poisson’sRatio）：描述材料在横向和纵向变形之间的关

系，定义为横向应变与纵向应变的绝对值比。

1.2优化算法基本概念

优化算法是寻找函数最小值或最大值的一系列方法。在工程设计中，优化

算法用于在满足一定约束条件下，找到最佳的设计参数，以达到最优性能。

1.2.1目标函数

定义：优化问题中需要最小化或最大化的函数。

示例：在弹性力学中，目标函数可能是最小化结构的总应变能或

最大化结构的稳定性。

1.2.2约束条件

定义：优化过程中必须满足的条件，如材料强度、尺寸限制等。

示例：在设计桥梁时，约束条件可能包括最大应力不超过材料的

屈服强度，桥梁的总重量不超过特定值。

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1.3模拟退火算法原理

模拟退火算法（SimulatedAnnealing,SA）是一种启发式全局优化算法，灵

感来源于固体物理学中的退火过程。它通过模拟金属冷却过程中的原子活动，

来寻找函数的全局最优解。

1.3.1算法步骤

1.初始化：设置初始温度T和初始解x。

2.迭代：在当前温度下，随机选择一个邻近解x’。

3.接受准则：如果新解x’的目标函数值优于当前解x，则接受x’；

如果x’的目标函数值较差，则以一定概率接受x’，该概率由Boltzmann

分布决定。

4.温度更新：根据某种冷却策略降低温度T。

5.终止条件：当温度降至某个阈值或达到预设的迭代次数时，算法

终止。

1.3.2代码示例

importrandom

importmath

defobjective_function(x):

#示例目标函数，这里使用一个简单的二次函数

returnx**2

defsimulated_annealing(initial_solution,initial_temperature,cooling_rate,stopping_temperatur

e):

current_solution=initial_solution

current_temperature=initial_temperature

whilecurrent_temperaturestopping_temperature:

#生成邻近解

next_solution=current_solution+random.uniform(-1,1)

#计算目标函数值

current_value=objective_function(current_solution)

next_value=objective_function(next_solution)

#计算接受概率

ifnext_valuecurrent_value:

current_solution=next_solution

else:

probability=math.exp(-(next_value-current_value)/current_temperature)

ifrandom.random()