2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷1.docx

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2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷1

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，集合，则.

2．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数.

3．现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为.

4．若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差．

5．在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为.

6．设函数，若，，成等差数列（公差不为零），则.

7．已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．

8．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是．

9．已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围.

10．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是.

11．如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是.

12．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①函数的定义域为，值域为；

②函数在上是增函数；

③函数是周期函数，最小正周期为；

④函数的图象关于直线对称.

其中正确命题的序号是

二、单选题

13．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

14．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数????????②的最大值为2

③在有4个零点????④在区间单调递减

其中所有正确结论的编号是（????）

A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③

15．如图，面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为则的最大值为

A．30° B．60°

C．90° D．120°

16．已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（????）

A．16 B．17 C．18 D．19

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知点、，其中.

（1）若，求证：.

（2）若，求的值.

18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

19．某化工单位采取新工艺、把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨．最多为600吨，处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．已知月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为．每吨的平均处理成本．

(1)该单位每月处理为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；

（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.

21．已知函数

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

C

A

B

B

1．

【详解】试题分析：由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点.

考点：集合的运算.

2．

【详解】试题分析：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即正确解答本题需正确理解纯虚数概念.

考点：复数的运算，纯虚数的概念.

3．

【详解】试题分析：从甲、乙、丙人中随机选派人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.枚举法是求古典概型概率的一个有效方法.

考点：古典概型概率计算方法