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结构力学本构模型：粘弹性模型：粘弹性本构关系导论

1绪论

1.1粘弹性模型的重要性

粘弹性模型在结构力学领域扮演着至关重要的角色，尤其是在处理那些在

时间和温度影响下表现出复杂行为的材料时。这些模型能够描述材料在加载和

卸载过程中的应力-应变关系，以及应力松弛、蠕变等现象，这对于预测结构在

实际工作条件下的性能至关重要。例如，在桥梁、道路、航空航天结构和生物

医学应用中，粘弹性模型帮助工程师理解材料如何随时间变化而变化，从而设

计出更安全、更持久的结构。

1.2粘弹性与弹性、塑性的区别

1.2.1弹性

弹性材料在受到外力作用时会发生变形，但一旦外力移除，材料会立即恢

复到其原始形状。这种行为可以用胡克定律来描述，即应力与应变成正比，比

例常数为材料的弹性模量。

1.2.2塑性

塑性材料在超过一定应力水平后，即使外力移除，材料也不会完全恢复到

其原始形状，而是会发生永久变形。这种行为通常与材料的屈服强度和塑性模

量相关。

1.2.3粘弹性

粘弹性材料结合了弹性材料和塑性材料的特性，但其行为更为复杂。在粘

弹性材料中，应力与应变的关系不仅取决于外力的大小，还取决于时间。这意

味着，即使在恒定应力下，粘弹性材料的应变也会随时间增加（蠕变），或者在

恒定应变下，应力会随时间减小（应力松弛）。这种时间依赖性使得粘弹性模型

在描述橡胶、聚合物、生物组织等材料时尤为关键。

1.2.4示例：一维粘弹性模型的应力松弛

假设我们有一个粘弹性材料样品，当受到恒定应变ε时，其应力σ随时间t

变化。我们可以使用一个简单的粘弹性模型，如Maxwell模型，来描述这一过

程。Maxwell模型由一个弹簧和一个粘壶串联组成，其中弹簧代表弹性部分，

粘壶代表粘性部分。

1

1.2.4.1Maxwell模型的应力松弛方程

应力σ(t)随时间t的变化可以用以下方程描述：

−

=

0

其中，σ_0是初始应力，τ是松弛时间常数，它反映了材料恢复到平衡状

态的速度。

1.2.4.2Python代码示例

下面是一个使用Python和matplotlib库来模拟和可视化Maxwell模型应力

松弛过程的代码示例：

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

sigma_0=100#初始应力，单位：N/m^2

tau=10#松弛时间常数，单位：s

t=np.linspace(0,100,1000)#时间范围，单位：s

#计算应力随时间的变化

sigma=sigma_0*np.exp(-t/tau)

#绘制应力-时间曲线

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(t,sigma,label=StressRelaxation)

plt.xlabel(时间(s))

plt.ylabel(应力(N/m^2))

plt.title(Maxwell模型下的应力松弛)

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

1.2.4.3代码解释

1.导入库：首先，我们导入了numpy和matplotlib.pyplot库，

numpy用于数值计算，matplotlib.pyplot用于绘制图表。

2.定义参数：我们定义了初始应力sigma_0和松弛时间常数tau。

3.时间范围：使用numpy.linspace函数创建了一个从0到100秒的

时间范围，共1000个点。

4.计算应力：根据Maxwell模型的应力松弛方程，我们计算了应力

随时间的变化。

5.绘制图表：最后，我们使用matplotlib.pyplot绘制了应力随时间变

化的曲线，并添加了标题、