第3讲12.3角的平分线的性质(原卷版+解析).docxVIP

12.3角平分线的性质（原卷版）

一、学习目标

1.掌握角平分线的尺规作图的方法，知道作法的理论依据。能理解角平分线与三角形的角平分线的区别与联系

2.探索并证明角平分线的性质与判定定理（高频考点，难点）

3.能用角平分线的性质与判定定理解决问题（高频考点，难点）

4.通过三角形的角平分线，了解三角形中三条角平分线交于一点的事实（高频考点，难点）

5.掌握命题的一般步骤

二、新知解读

知识点1角平分线的尺规作图

典例1在平行四边形ABCD中，用尺规作图画∠BAD的角平分线（不用写过程，留下作图痕迹），交DC于点H，若BC＝6，DH＝2HC，求平行四边形ABCD的周长．

知识点2角平分线的性质

典例2如图，在△ABC中，C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝3，AB＝10，则S△ABD＝．

知识点3命题的证明

典例3-1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高．

求证：BD＝CE．

典例3-2投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PE⊥OA，

PF⊥OB，垂足分别为E、F．

求证：PE＝PF．

证明：∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠POE＝∠POF，

∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，

∴△POE≌△POF，∴PE＝PF．

小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴∠PEO＝∠PFO”和“∴△POE≌△POF”之间作补充，下列正确的是（）

A．投影屏上推理严谨，不必补充 B．应补充：“又∵∠OPE＝∠OPF”

C．应补充：“又OE＝OF，OP＝OP” D．应补充：“又OP＝OP”

知识点4角平分线的判定

典例4如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．

三、易错预警

易错点：在应用角平分线的性质时由于漏掉条件而出错。

易错题如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，点F是射线OB上一个动点，若PE＝2，则PF的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

四、题型梳理

题型1角平分线性质的一般应用

方法点拨：点在角平分线上，得垂线段相等，从而求线段的和差、周长、面积，以及作为证明全等的条件

典例1如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°．

针对训练

1．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）

A．5cm B．6cm C．9cm D．不能确定

2．如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD＝5，△ABC的周长为50，求△ABC的面积．

题型2角平分线性质的实际应用

方法点拨：利用角平分线的性质去确定符合条件的点的位置

典例2为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）

A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处

针对训练

1．如图所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m，现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花．请你设计出一个方案，并说明你的理由．

题型3角平分线判定定理的应用

方法点拨：做垂直，证相等，根据角平分线的判定定理得角平分线

典例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB．若CD＝3，AB＝10，△ABD的面积为15，AD是∠BAC的角平分线吗？请说明理由．

针对训练

1．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积

求证：OP平分∠AOD．

题型四角平分线的性质与判定的综合运用

方法点拨：利用角平分线的性质和判定定理去解决线段相等或角相等的问题，不必再去证明两个三角形全等，有时需要添加辅助线，过角平分线上的点向角的两边作垂线段，将符合性质定理的基本图形构造出来。

典例4如图，BP，CP都是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：AP平分∠MAN．

针对训练

1．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．

题型5角平分线在探究题中的应用

此类题灵活性较强，一般是将角平分线的性质定理和三角形全等综合使用，用于探究线段间的数量关系或者等积变形等问题

典例5在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝