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第二讲可测函数

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江西财经大学信息管理学院制作人：杨寿渊

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目录

2.1广义实值函数

2.2可测函数的定义

2.3可测函数的性质

2.4用简单函数逼近可测函数

2.5可测函数序列的收敛性

2.6Egoroff定理和Lusin定理

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2.1广义实值函数

在讲可测函数的定义之前，我们先将函数的定义进行适当

的拓广，使得函数值不但可以取有限数，还可以取，

这样的函数称为广义实值函数。

例1.在物理和工程领域经常用到一个这样的函数：

,x0,

(x)且(x)dx1,



0,xR\{0},

通常称为狄拉克(Dirac)符号或单位脉冲函数。

我们对的运算作如下规定：设a为非零的有限数，则

(),a,|a|(),

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(1),,0,0()0.



设E是实数集R的一个勒贝格可测子集，记

E(fa)xE:f(x)a,

E(fa)xE:f(x)a,

E(fa)xE:f(x)a,



E(f)E(fk),

k1



E(f)E(fk).

k1

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2.2可测函数的定义

定义2.1设f是定义在可测集E上的广义实值函数，如

果对任何有限实数a，E(fa)都是可测集，则称f是定义

在E上的可测函数。

关于可测函数的定义，有下列几点需补充说明：

i).如果f是定义在E上的可测函数，则E(f)

和E(f)都是可测集；



事实上，E(f)E(fk),

k1

由于每一个E(fk)都是可测集，因此E(f)

也是可测集。

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