专题10 指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版.docx

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专题10指数与指数函数（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 4

【考点1】指数幂的运算 4

【考点2】指数函数的图象及应用 5

【考点3】指数函数的性质及应用 7

【分层检测】 9

【基础篇】 9

【能力篇】 11

【培优篇】 12

考试要求：

1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.

3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.

知识梳理

知识梳理

1.根式的概念及性质

(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)①负数没有偶次方根.

②0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.

③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1).

④eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).

⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0))(n为大于1的偶数).

2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

3.指数幂的运算性质

实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈R.

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图象关于y轴对称

1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).

2.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.

3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（????）

A． B． C．1 D．2

3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（????）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

6．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（????）

A． B．

C． D．

7．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

考点突破

考点突破

【考点1】指数幂的运算

一、单选题

1．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（????）

（参考数据：）

A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m

2．（2024·广东深圳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2023·云南曲靖·模拟预测）若实数满足，则（????）

A．且 B．的最大值为

C．的最小值为7 D．

4．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（????）

A．若且，则，至少有一个大于2

B．，

C