专题16 导数与函数的单调性-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题16导数与函数的单调性（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 8

【考点1】不含参函数的单调性 8

【考点2】含参函数的单调性 15

【考点3】根据函数的单调性求参数 21

【考点4】函数单调性的应用 28

【分层检测】 37

【基础篇】 37

【能力篇】 45

【培优篇】 48

考试要求：

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

知识梳理

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

条件

恒有

结论

函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导

f′(x)＞0

f(x)在(a，b)上单调递增

f′(x)＜0

f(x)在(a，b)上单调递减

f′(x)＝0

f(x)在(a，b)上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导函数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.

1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（????）．

A． B．e C． D．

2．（2022·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（????）

A． B． C． D．

三、填空题

6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.

参考答案：

1．C

【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即a的最小值为．

故选：C．

2．A

【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.

【详解】[方法一]：构造函数

因为当

故，故，所以；

设，

，所以在单调递增，

故，所以，

所以，所以，故选A

[方法二]：不等式放缩

因为当，

取得：，故

，其中，且

当时，，及

此时，

故，故

所以，所以，故选A

[方法三]：泰勒展开

设，则，，

，计算得，故选A.

[方法四]：构造函数

因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，

故选：A．

[方法五]：【最优解】不等式放缩

因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．

故选：A．

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．

3．C

【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】方法一：构造法

设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.

方法二：比较法

解：，，，

①，

令

则，

故在上单调递减，

可得，即，所以；

②，

令

则，

令，所以，

所以在上单调递增，可得，即，

所以在上单调递增，可得，即，所以

故

4．D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

5．BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究

对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；

对于，因为为偶函数，，，所以