专题50 抛物线-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题50抛物线（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 12

【考点1】抛物线的定义和标准方程 12

【考点2】抛物线的几何性质及应用 17

【考点3】直线与抛物线的综合问题 24

【分层检测】 35

【基础篇】 35

【能力篇】 43

【培优篇】 47

考试要求：

1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.

2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

知识梳理

知识梳理

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

性

质

顶点

O(0，0)

对称轴

y＝0

x＝0

焦点

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

离心率

e＝1

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，称为抛物线的焦半径.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（????）

A．2 B． C．3 D．

二、多选题

2．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（????）

A．l与相切

B．当P，A，B三点共线时，

C．当时，

D．满足的点有且仅有2个

3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（????）．

A． B．

C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形

4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（????）

A．直线的斜率为 B．|OB|=|OF|

C．|AB|4|OF| D．

5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（????）

A．C的准线为 B．直线AB与C相切

C． D．

三、填空题

6．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.

四、解答题

7．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

答案

B

ABD

AC

ACD

BCD

1．B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

2．ABD

【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线的准线为，

的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，

故准线和相切，A选项正确；

B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，

由，得到，故，

此时切线长，B选项正确；

C选项，当时，，此时，故或，

当时，，，，

不满足；

当时，