2024—2025学年云南省昆明市第八中学特色级部高二上学期开学考数学试卷.docVIP

2024—2025学年云南省昆明市第八中学特色级部高二上学期开学考数学试卷

一、单选题

(★★)1.设向量，则下列结论中正确的是（）

A．

B．

C．

D．与垂直

(★★★)2.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，则

B．若，且，则

C．若，，则

D．若，则

(★★)3.若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）

A．数据的平均数为13

B．数据的方差为12

C．

D．

(★★★)4.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)5.的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是

A．

B．

C．

D．4

(★★★)6.在正方体中，三棱锥内切球的体积为，则正方体外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知，则的最小值为（）

A．

B．4

C．

D．

(★★★★)8.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

A．的虚部为

B．在复平面内对应的点在第二象限

C．的共轭复数为

D．若，则的最大值是

(★★)10.下列命题正确的是（）

A．对于事件，，若，则

B．若三个事件，，两两互斥，则

C．若，，则事件，相互独立与互斥不会同时发生

D．若事件，满足，，，则

(★★★)11.已知函数，则下列说法正确的是（）

A．若的最小正周期是，则

B．当时，的对称中心的坐标为

C．当时，

D．若在区间上单调递增，则

三、填空题

(★★)12.若向量满足，，则向量的夹角为___________.

(★★★)13.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.

(★★★★)14.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：

①直线与平面所成角为45°；

②二面角的余弦值为；

③点到平面的距离为定值；

④线段长度的取值范围是

其中所有正确结论的序号是____________

四、解答题

(★★★)15.的内角的对边分别为，已知．

（1）求角；

（2）若，的周长为，求的面积．

(★★★)16.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

(★★★)17.如图，四棱锥中，底面为菱形，且，侧棱底面，，为侧棱上一点．

(1)当为中点时，求的面积；

(2)试确定点的位置，使平面与平面夹角的余弦值为．

(★★★)18.已知.

(1)求的单调递增区间；

(2)若，，求满足不等式的x的取值范围.

(★★★★)19.已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．

(1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值；

(2)当时，证明：①；②；

(3)当，时，探究与的大小关系，并证明．