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4.2-4.3立方根和实数(一)
【推本溯源】
1.如图,棱长为1时,正方体的体积为1,
那体积为2的棱长等于多少?
设棱长为x,x3=2
一般地,如果x3=a,那么x叫做a的,a的立方很记作,读作。和平方根相似的地方是求一个数的立方很的运算叫做。
2.计算
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;、
(4)若,则=;
因此,
3.立方根的性质
4.平方根和立方根小数点平移
被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
被开方数的小数点向右或者向左移动3位,它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如,,,,.
5.(1)如图,试着就算,你能说出
的值吗?
(2)你可以画出长度为的线段吗?
要去想,所以构造以1cm、3cm为直角边的是直角三角形即可;求一下后面两个数。
(3)可以画出半径为1cm的圆,求出它的周长和面积吗?
因此,想上面含有根号、含有Π的数都是。
有理数和无理数统称为。
无理数也可以在数轴上面表示出来。如图A表示的数为
每一个实数都可以用数轴上的一个来表示;反过来,数轴上的每一个都表示一个实数。实数与一一对应。
【解惑】
例1:在,,,,2023这五个数中无理数的个数为(????)
A.2 B.3 C.4 D.5
例2:如图,小明将一个直径为1个单位长度的圆环(厚度忽略不计)从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点,则下列实数与点表示的数最接近的是(????)
??
A. B. C. D.
例3:如果,那么(????)
A. B. C. D.
例4:已知:与是某正数的两个不相等的平方根,的立方根是.求:
(1)的值;
(2)的平方根.
例5:如图,在数轴上点、、所表示的数分别为,,,点到点的距离与点到点的距离相等,设点所表示的实数为.
??
(1)求出实数的值
(2)求的值.
【摩拳擦掌】
1.(2023春·山西吕梁·七年级统考期中)归纳平方根和立方根的特征时,分了正数、、负数三种情况进行研究,其中主要体现的数学思想是(????)
A.转化思想 B.方程思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想
2.(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试)若,,则x为(????).
A.214 B. C.2140 D.
3.(2023秋·河北石家庄·八年级校考期末)如图,在数轴上标有O,A,B,C,D五个点,根据图中各点所表示的数,判断应该在下列线段的(????)
??
A.上 B.上 C.上 D.上
4.(2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中)定义一种运算:对于任意实数,都有,则的值为_________.
5.(2023春·黑龙江鹤岗·七年级校考期中)0.16的平方根是_____,的算术平方根是_____,的立方根是_____.
6.(2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习)已知a、b满足以下条件:①一个正数x的两个平方根分别是和;②.
(1)求a,b,x;
(2)求的平方根.
7.(2023春·广东汕头·七年级校考期中)已知一个正数的平方根是和,的立方根是,是的整数部分,d的平方根是它本身.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)求的算术平方根.
8.(2023·浙江台州·统考中考真题)计算:.
9.(2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中)计算:
(1);
(2).
【知不足】
1.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)下面四个数中,比1小的正无理数是()
A. B. C. D.
2.(2023年山东省临沂市中考二模数学试题)在实数,,,0中,绝对值最小的一个是(????)
A. B. C. D.0
3.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模)下列实数中,最小的实数是()
A.1 B. C. D.
4.(2023春·江苏南通·七年级统考期中)下列各数中,化简结果为的是(???)
A. B. C. D.
5.(2023·福建莆田·校考模拟预测)如图,A,B两点分别是在数轴上表示实数1,2的点,若点C在A,B两点之间的数轴上,则点C表示的c的值可以是________(只需写出一个符合条件的实数).
??
6.(2023年四川省内江市中考数学真题)若a、b互为相反数,c为8的立方根,则___________.
7.(2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中)在实数,最大的一个数是___
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