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上海市金山中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题
填空题(本大题共有小题,满分分)
不等式的解集为_______.
集合可用列举法表示为__________.
设,则.
方程的解为.
“”是“关于的方程无解”的_________条件.
满意的集合有__________个.
已知,则.(用的代数式表示)
已知,则的最小值为_________.
已知为方程的两个实数根,则的取值范围为______.
已知集合,且,则实属的全部取值组成的集合为___________.
设集合集合,若,则实数的取值范围是_________.
若对于两个实数集合集合的运算定义为:,
集合的运算的定义为:.已知实数集合
,试写出一个实数,使得但,则
选择题(本大题共有题,满分分)
设,则“”是“”的()
充分非必要条件必要非充分条件充要条件既非充分也非必要条件
若,且。则下列不等式中,恒成立的是()
设常数,集合,若,则的取值为()
已知为正实数,若,则对此不等式描述正确的是()
若则至少存在一个以为边长的等边三角形
若则对随意满意不等式的都存在以为边长的三角形
若则对随意满意不等式的都存在以为边长的三角形
若则对满意不等式的不存在以为边长的直角三角形
三.解答题(本大题共有5题,满分76分)
.(本题满分分)
现有四个长方形容器,的底面积都是,高分别是;的底面积都是,高分别是,现规定一种嬉戏规则:每人每一次从容器中取两个,盛水多者为胜,问先取者有没有必胜的方案?若有的话有哪几种?并证明你的结论;若没有的话,说明理由。
.(本小题满分分,第小题满分分,第小题满分分)
已知集合,集合.
求;
若是的必要条件,求的取值范围.
.(本题满分分,第小题满分分,第小题满分分)
经过长期视察得到:在交通繁忙的时段内容,某马路段汽车的车流量(千辆/)与汽车的平均速度(/)之间的函数关系为:.
若要求在该时段内车流量超过10千辆/,则汽车的平均速度应在什么范围之内?
在该时段内,当汽车的平均其速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/)
.(本题满分分,第小题满分分,第小题满分分,第小题满分分)
记代数式.
当时,求使代数式有意义的实数的集合;
对随意,代数式有意义,求实数的取值范围;
若代数式有意义,求实数的取值范围.
.(本题满分分,第小题满分分,第小题满分分,第小题满分8分)
已知实数满意;
求证:;
将上述不等式加以推广,把的分子改为另一个大于的自然数,使得
对随意的恒成立,请加以证明;
从另一角度推广,自然数满意什么条件时,不等式对随意恒成立,请加以证明。
参考答案
填空题
必要非充分
二.选择题
三.解答题
先取容器必胜.
证明:依次记容器的容积为
则
作差即可
所以,先取容器必胜.
由得
所以
由得,所以
是的必要条件,
得
由题得解不等式得
所以汽车的平均速度应在到/
有题意当且仅当即时等号成立
当汽车的平均速度为时,车流量最大,为千辆/
;
对随意都成立.
,解得或,又,所以
由题意,存在,使得成立
又,
在时有解,
换元令,则
原式转化为证明
证明:得证;
(2)同可得,所以恒成立,
又当且仅当时取等号
所以,
(3)时,作差即可。
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