第01讲二次函数与y=ax2(a≠0)图像与性质(8种题型)(原卷版+解析).docxVIP

第01讲二次函数与图像与性质（8种题型）

【知识梳理】

知识点1．二次函数的定义

1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．

2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象

用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法

在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．

（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：

x

…

-2

-1

0

1

2

…

…

4

1

0

1

4

…

1

1

2

3

4

1

2

3

4

x

y

x

y

O

O

1

2

1

2

-2

-1

-2

-1

图1

图2

（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．

（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．

要点诠释：

二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

知识点4：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

函数

图象

开口方向

顶点坐标

对称轴

函数变化

最大（小）值

y=ax2

a0

向上

（0，0）

y轴

x0时，y随x增大而增大；

x0时，y随x增大而减小.

当x=0时，y最小=0

y=ax2

a0

向下

（0，0）

y轴

x0时，y随x增大而减小；

x0时，y随x增大而增大.

当x=0时，y最大=0

要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

【考点剖析】

题型1：根据二次函数的定义求参数的值

例1．（2023?桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（）

A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x2+3

例2．（2023春?兰溪市月考）下列函数中，属于二次函数的是（）

A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2

C．y＝2x2﹣7 D．

题型2：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质求字母参数的值

例3.抛物线与的形状相同，则a的值为______．

例4.已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？

例5.已知二次函数的图像开口向下，求m的值．

题型3：利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质判断抛物线的开口方向和大小

例6.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；

（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？

例7.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图 像；

（2）函数、、的图像与函数、、的图像有何异同？

题型4：一题多解法——比较函数值的大小

例8.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．

题型5：求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式

例9.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位A