专题08反比例函数综合题-（全国通用）（解析版）.docVIP

专题08反比例函数综合题

考向1反比例函数与一次函数的综合

【母题来源】2021年中考攀枝花卷

【母题题文】（2021?攀枝花）在直角坐标系中，直线yx与反比例函数y的图象在第一、三象限分别交于A、B两点，已知B点的纵坐标是﹣2．

（1）写出点A的坐标，并求反比例函数的表达式；

（2）将直线yx沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，l与反比例函数图象在第一象限内交于点C，与y轴交于点D．

（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；（请用“＜”或“＝”或“＞”填空）

（ⅱ）求△ABC的面积．

【试题解析】（1）∵点B的纵坐标是﹣2，

∴﹣2x，即x＝﹣6，B（﹣6，﹣2），

把B的坐标代入y，即k＝12，

∴反比例函数的表达式为y，

当x时，x＝6或﹣6（舍），∴A（6，2）；

（2）（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；

∵直线l是直线yx向上平移得到的，

∴两条直线互相平行，

∵平行线间的距离处处相等，

∴S△ABC＝S△ABD；故答案为：＝；

（ⅱ）由题意得，OD＝5，

∴S△ABD＝S△BOD+S△AOD5×（6+6）＝30，

∴S△ABC＝S△ABD＝30．

【命题意图】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；模型思想。

【命题方向】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据题意求出函数解析式是解题关键。

【得分要点】反比例函数与一次函数结合的考查方式与解题方法:

(1)求反比例函数与一次函数的解析式:通常先将已知交点的坐标代入反比例函数的解析式,求得反比例函数的解析式,再求另一交点的坐标,最后利用待定系数法求一次函数的解析式.

(2)确定反比例函数和一次函数的交点情况或求交点坐标:通常联立反比例函数与一次函数的解析式,得关于自变量的一元二次方程,根据判别式确定交点情况;联立得到的方程组的解即为交点的横、纵坐标.

(3)求图形面积:把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的图形面积,将其分割为几个较好求的图形面积.

考向2反比例函数与几何图形的综合

【母题来源】2021年中考湖北卷

【母题题文】如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2交于C，P（﹣4，﹣1）两点．

（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；

（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；

（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．

【试题解析】（1）连接AC，BD相交于点E，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，

∵A（2，0），C（2，m），

∴E（2，m），AC∥y轴，

∴BD⊥y轴，∴点D（0，m），B（4，m），

∵点C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直线CD上，

∴，∴，∴点C（2，2），

∵点C在双曲线y2上，∴k＝2×2＝4，

∴双曲线的函数关系式为y2；

（2）因为四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2）

∴m＝2，B（4，m），∴B（4，1），

由（1）知双曲线的解析式为y2；

∵4×1＝4，∴点B在双曲线上；

（3）由（1）知C（2，2），

由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．

【命题意图】综合题；推理能力

【命题方向】反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用m表示出点D的坐标是解本题的关键．

【得分要点】反比例函数与几何图形结合的考查方式与解题方法:

(1)求反比例函数的解析式:通常用待定系数法求解;

(2)求点的坐标:观察图形,结合已知条件进行求解;

(3)求图形面积:把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的图形面积,将其分割为几个较好求图形面积的和或差.

1．（2021?凉州区校级二模）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．

（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；

（2）请直接写出不等式的解集．

解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，

∴k＝4×3＝12，

∴反比例函数解析式为；

∵，OA＝OB，点B在y轴负半轴上，

∴点B（0，﹣5）．

把点A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，

得，解得：，

∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；

（2）令y＝2x﹣5中y＝0，则x，∴D（，0），

由图象可知，不等式的解集为x＜4．

2．（2021?柳江区模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b图象与反比例函数（x＜0）图象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．

（1）求一次函数的解析式和m的值；

（2）点P是线段AB上的一个动点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，请求出此时点P坐标．

解：