7-代数方程组数值解法.ppt

迭代的收敛判据绝对收敛判据相对收敛判据收敛精度收敛精度迭代格式收敛条件-1线性方程组雅可比迭代格式高斯－塞德尔迭代格式如果满足（各行同列系数相加之和中最大者小于1）则以上迭代格式对任意给定的初值均收敛迭代格式收敛例：对以下方程的两种迭代格式迭代格式发散雅可比迭代格式收敛条件-2方程组形式为如果系数矩阵满足对角占优则雅可比迭代与高斯－塞德尔迭代对任意给定初值均收敛系数矩阵主对角线元素的绝对值大于同行其它元素绝对值之和，称为具有主对角线优势。迭代法要求方程组具有主对角线优势7.2.2解代数方程组的超松弛(SOR)法代入高斯－塞德尔迭代格式两次迭代计算的结果之差插入系数?基于高斯-塞德尔迭代格式的超松弛迭代公式?（松弛因子Relaxationfactor）：调整两次迭代结果之差（迭代所得未知量的变化幅度）目的：改善收敛性和稳定性，加快收敛速度超松弛与欠松弛?1，超松弛OverRelaxation，收敛过程加快；0?1，欠松弛或亚松弛UnderRelaxation，非线性方程时常用，使求解收敛过程稳定。例：以下为偏微分方程的差分方程组，用松弛迭代法求解，初值取为:xi(0)=10.0(i=1,2,…,10)，收敛精度为0.0001，?的取值从0.5开始，每次增量0.05，直到?=1.50，比较不同?取值下的迭代次数K求解结果X(1)=8.7057562X(2)=7.8230367X(3)=7.5863681X(4)=7.5224576X(5)=7.5034342X(6)=7.4913092X(7)=7.4617863X(8)=7.3558350X(9)=6.9615569X(10)=5.4903898解：用超松弛迭代公式计算?1.051.101.151.201.251.301.351.401.451.50K11121314151718192123?0.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00K3732292623211917151412不同?取值时的迭代次数K最佳松弛因子取值为1.05最佳松弛因子的选取较为复杂，通常需要在计算过程中有哪些信誉好的足球投注网站。7.3非线性方程组数值解非线性方程组的数值解通常采用迭代法雅可比迭代及塞德尔迭代，均可用于求解非线性方程组，求解单一非线性方程的牛顿法和弦截法等，也可推广到求解非线性方程组。对有n个独立的非线性方程组雅可比迭代法改写方程向量形式雅可比迭代格式?(X)的构造形式可有多种，但不一定都能收敛非线性方程组雅可比迭代格式的收敛条件塞德尔迭代格式绝对收敛准则相对收敛准则塞德尔迭代的收敛条件与雅可比迭代相同，但收敛速度则因所求解的问题而不同威格斯坦（Wegstein）法一种用于非线性方程迭代求解的加速方法几何意义：利用割线逐次逼近曲线威格斯坦（Wegstein）法计算步骤(1)确定初值，用雅可比迭代格式算出第一次迭代值不但可以加速迭代过程，而且可以改善迭代过程的收敛性，放宽对初值的要求。用于显式方程常在流程模拟中应用(2)用前两次的迭代值构成威格斯坦迭代格式例题7-4分别用雅可比迭代和塞德尔迭代解非线性方程组取迭代初值，精度取10-5。解由原方程组构造迭代方程组MATLAB中有函数fsolve可直接调用求解，此处为了理解算法，仍按算法步骤编程计算。计算结果i=5x=0.50000.0000-0.5236比较：精确解%雅可比迭代

clearl=0;x=[0.1;0.1;-0.1];%初值向量n=50;%最大迭代次数i=2;%迭代次数whilel=nc=x;%用迭代新值替换上次迭代“旧值”x(1)=cos(c(2)*c(3))/3+1/6;%迭代方程右端函数x(2)=sqrt(c(