3.4基本不等式(第1课时).ppt

应用基本不等式求最值的条件：例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？1.两个不等式：（1）重要不等式：（2）基本不等式：（当且仅当a=b时，等号成立）注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”即“一正，二定，三相等”应用基本不等式求最值的条件：*第一课时3.4基本不等式问题提出1.不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0，|a|≥a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.2.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系，对这些等与不等的关系，我们作些相应研究.探究（一）:基本不等式的原理|a－b|思考1：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？ABCDEFGH思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？a2＋b2≥2ab思考3：从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号？当直角三角形为等腰直角三角形，即a＝b时，a2＋b2＝2ab.ABCDEFGH思考4：在上面的图形背景中，a,b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？一般地，对于任意实数a，b，有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.ABCDEFGH重要不等式思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用、分别代替a、b，可得什么不等式?当且仅当a＝b时等号成立.思考6：不等式称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？思考7：我们称和分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.均值不等式(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=____,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究（二）：基本不等式与最值原理思考1：在基本不等式(a＞0，b＞0)中，如果a·b＝P为定值，能得到什么原理？原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值.思考2：在基本不等式(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值，又能得到什么原理？原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值.思考3：能否由得函数的最小值是2吗？思考4：当x≥4时,能否由得函数的最小值是4吗？思考6：利用基本不等式求两个变量的和的最小值(或积的最大值)，应具备哪些基本条件？一正二定三相等思考5：当x∈(0，π)时，能否由，得函数的最小值是吗？a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不