第06讲多边形内角和(7种题型)(原卷版+解析).docxVIP

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第06讲多边形内角和(7种题型)

【知识梳理】

一、多边形内角和

n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3).

要点诠释:

(1)内角和公式的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和求其边数;(2)正多边形的每个内角都相等,都等于;

二、多边形的外角和

多边形的外角和为360°.

要点诠释:

(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做多边形的外角和.n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关;

(2)正n边形的每个内角都相等,所以它的每个外角都相等,都等于;

(3)多边形的外角和为360°的作用是:①已知各相等外角度数求多边形边数;②已知多边形边数求各相等外角的度数.

三.平面镶嵌(密铺)

(1)平面图形镶嵌的定义:用形状,大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接.彼此之间不留空隙,不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.

(2)正多边形镶嵌有三个条件限制:①边长相等;②顶点公共;③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.

判断一种或几种图形是否能够镶嵌,只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角,若能构成360°,则说明能够进行平面镶嵌,反之则不能.

(3)单一正多边形的镶嵌:正三角形,正四边形,正六边形.

(4)两种正多边形的镶嵌:3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等.

(5)用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案.

【考点剖析】

题型一:利用内角和求边数

例1.一个多边形的内角和为540°,则它是()

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

【变式1】(2021·河北承德市·八年级期末)一个多边形的内角和是900°,这个多边形的边数是()

A.3 B.4 C.5 D.7

【变式2】(2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中)若一个多边形的内角和是720°,则这个多边形的边数为()

A.4 B.5 C.6 D.7

题型二:求多边形的内角和

例2.一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,得到的多边形的内角和为()

A.1620°B.1800°

C.1980°D.以上答案都有可能

【变式1】(2021·云南临沧·八年级期末)一个八边形的内角和度数为()

A.360° B.720° C.900° D.1080°

【变式2】(2021·广西来宾市·八年级期中)已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多,求这个多边形是几边形?并求出这个多边形的内角和.

【变式3】(2020·南京市宁海中学八年级开学考试)问题1:如图,我们将图(1)所示的凹四边形称为“镖形”.在“镖形”图中,∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P.

问题2:如图(2),已知AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,∠B=28°,∠D=48°,求∠P的大小;

小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题:

由问题1结论得:∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC,

所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC,

即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC;

由“”得:∠AOC=∠BAO+∠B,∠AOC=∠DCO+∠D.

所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D.

所以2∠APC=.

所以∠APC=.

请帮助小明完善上述说理过程,并尝试解决下列问题(问题1、问题2中得到的结论可以直接使用,不需说明理由);

解决问题1:如图(3)已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系为

解决问题2:如图(4),已知直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,则∠P与∠B、∠D的关系为

题型三:复杂图形中的角度计算

例3.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()

A.450°B.540°C.630°D.720°

【变式1】(2021·全国八年级单元测试)如图,在五边形ABCDE中,∠D=120°,与∠EAB相邻的外角是80°,与∠DEA,∠ABC相邻的外角都是60°,则∠C为________度.

【变式2】(2020·南京市宁海中学八年级开学考试)如图,五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O,∠1,∠2,∠3是五边形的3个外角,若∠1+∠2+∠3=220°,则∠AOB=_______

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