第7章《锐角三角函数》知识讲练(学生版+解析).docxVIP

2023-2024学年苏科版数学九年级下册章节知识讲练

知识点01：锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：

(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，

但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

要点诠释：

1.函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．锐角三角函数之间的关系：

余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，

那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函数值

∠A

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

1

30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

知识点02：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；

边边关系：勾股定理，即；

边角关系：锐角三角函数，即

要点诠释：

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

知识点03：解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

1.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角与俯角：

要点诠释：

1．解直角三角形的常见类型及解法

已知条件

解法步骤

Rt△ABC

两

边

两直角边(a，b)

由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)

由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角

一直角边

和一锐角

锐角、邻边

(如∠A，b)

∠B=90°－∠A，

，

锐角、对边

(如∠A，a)

∠B=90°－∠A，

，

斜边、锐角(如c，∠A)

∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

3．锐角三角函数的应用

用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状