专题2 全等三角形的常见模型及其构造方法（解析版）.pdf

专题2全等三角形的常见模型及其构造方法（解析版）

类型一一线三等角模型

（一）捕捉一线三等角模型

1．（2023•南谯区校级一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点，AE＝EF，AE⊥EF，

若BE＝3，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为40．

【思路引领】由矩形的性质得AB+BC＝13，再证△ABE≌△ECF（AAS），得AB＝EC，然后求出AB＝5，

则BC＝8，即可解决问题．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，

∵矩形ABCD的周长为26，

∴AB+BC＝13，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠CEF＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

在△ABE和△ECF中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△ABE≌△ECF（AAS），

∴AB＝EC，

∵AB+BC＝13，

∴AB+BE+EC＝13，

∴AB+3+AB＝13，

∴AB＝5，

∴BC＝8，

∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×8＝40，

故答案为：40．

【总结提升】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三

角形全等是解题的关键．

2．（2022秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠BAC

＝∠AEC＝α，若DE＝8，BD＝2，求CE的长．

【思路引领】先根据角的加减求出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE，再求出AD的值

即可．

解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，

∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠ECA＝∠BAD，

在△BAD与△ACE中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△BAD≌△ACE（{AAS}），

∴CE＝AD，AE＝BD＝2，

∵DE＝8，

∴AD＝DE﹣AE＝8﹣2＝6，

∴CE＝AD＝6．

【总结提升】本题考查了角的加减和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解

题的关键．

3．（2023春•榆林期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的

长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，

AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平

距离DC．

【思路引领】根据ASA证明△ADE与△ECB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．

解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，

∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°，

∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°，

∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC，

又∵AE＝BE，

∴△ADE≌△ECB（ASA），

∴AD＝CE，DE＝BC，

又∵AD＝150米，BC＝350米，

∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）．

答：两个排污口之间的水平距离DC为500米．

【总结提升】此题考查全等三角形的应用，关键是根据ASA证明△ADE与△ECB全等．

（二）构造一线三等角模型

4．（2022秋•武汉期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）

A．8B．12C．14