模型13半角模型(原卷版+解析).docxVIP

模型介绍

模型介绍

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

任意等腰三角形

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，

则：EF=DF-BE.

图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，

∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

【专题说明】

半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

【知识总结】

过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

一、半角模型特征

1、共端点的等线段；2、共顶点的倍半角；

二、半角模型辅助线的作法

1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；

2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；

3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。

例题精讲

例题精讲

【例1】．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为．

?变式训练

【变式1-1】．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）

A． B． C． D．

【变式1-2】．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长为．

【变式1-3】．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：

①AP＝PF；

②BG2+DP2＝GP2；

③PB﹣PD＝BF；

④S四边形PEFG＝S△APG．

以上结论正确的有（填入正确的序号即可）．

【例2】．如图，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，求S△AEF．

?变式训练

【变式2-1】．如图，等边△ABC中，D、E为BC边上的点，BD＝2CE，∠DAE＝30°，DE＝3，CE的长为．

【变式2-2】．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．