专题30 平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版.docx

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专题30平面向量的数量积及其应用（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 4

【考点1】数量积的计算 4

【考点2】数量积的应用 5

【考点3】平面向量的综合应用 6

【分层检测】 7

【基础篇】 7

【能力篇】 9

【培优篇】 10

考试要求：

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

知识梳理

知识梳理

1.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).

(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).

3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b0且a，b不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（????）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（????）

A． B．

C． D．

3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（????）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（????）

A． B． C．5 D．6

5．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（????）

A． B． C．1 D．2

二、填空题

6．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则．

7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．

8．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．

9．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．

10．（202