专题42 向量法求距离、探索性及折叠问题-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版.docx

PAGE2/NUMPAGES2

专题42向量法求距离、探索性及折叠问题（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 3

【考点1】利用向量法求距离 3

【考点2】立体几何中的探索性问题 6

【考点3】折叠问题 8

【分层检测】 11

【基础篇】 11

【能力篇】 15

【培优篇】 17

真题自测

真题自测

一、解答题

1．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

(1)求证平面；

(2)求平面与平面的夹角余弦值；

(3)求点到平面的距离．

2．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

??

(1)证明：；

(2)点在棱上，当二面角为时，求．

3．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

4．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．

(1)证明：；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

考点突破

考点突破

【考点1】利用向量法求距离

一、解答题

1．（2024·海南·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，.

(1)证明：;

(2)若直线AB与平面所成角的正弦值为，点为线段BD上一点，求点到平面的距离.

2．（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.

(1)求证：；

(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求点到直线距离的最大值.

3．（2024·河北·模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．

(1)求

(2)求平面与平面夹角的正弦值；

(3)求平面截四棱锥所得多边形的周长．

4．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且．

(1)求四棱锥的表面积

(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离．

5．（23-24高三下·湖南·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.

??

(1)证明：平面；

(2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由.

6．（2024·天津和平·二模）如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求点D到平面的距离．

反思提升：

(1)向量法求点到直线距离的步骤

①根据图形求出直线的单位方向向量v.

②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).

③垂线段长度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－（\o(MN,\s\up6(→))·v）2).

(2)求点到平面的距离的常用方法

①直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.

②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.

③等体积法.

④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).

【考点2】立体几何中的探索性问题

一、解答题

1．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

??

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.

(1)求证：平面；

(2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.

3．（2024·天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，.

(1)若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值；

(2)求平面和平面的夹角的余弦值；

(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由.

4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正四棱柱中，.

(1)在线段上是否存在一点，使得直线平面，若存在，求出长，若不存在，请说明理由；

(2)已知点在线段上，且，求二面角的余弦值.

5．（2024·湖南常德·一模）已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，.

(1)证明：平面平面；

(2)设，是否存在实数