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专题44两条直线的位置关系(新高考专用)
目录
目录
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】两直线的平行与垂直 7
【考点2】两直线的交点与距离问题 13
【考点3】对称问题 16
【考点4】直线系方程的应用 24
【分层检测】 28
【基础篇】 28
【能力篇】 36
【培优篇】 38
考试要求:
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
知识梳理
知识梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2?k1=k2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1,l2斜率都存在,设为k1,k2,则l1⊥l2?k1·k2=-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=eq\r((x2-x1)2+(y2-y1)2).
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=eq\r(x2+y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=eq\f(|Ax0+By0+C|,\r(A2+B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=eq\f(|C1-C2|,\r(A2+B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0).
(2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′-y0,x′-x0)·k=-1,,\f(y′+y0,2)=k·\f(x′+x0,2)+b,))可求出x′,y′.
1.“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2”=0.
2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
真题自测
真题自测
一、单选题
1.(2024·全国·高考真题)已知b是的等差中项,直线与圆交于两点,则AB的最小值为(????)
A.1 B.2 C.4 D.
2.(2024·北京·高考真题)圆的圆心到直线的距离为(????)
A. B. C. D.
3.(2024·全国·高考真题)已知直线与圆交于两点,则AB的最小值为(????)
A.2 B.3 C.4 D.6
二、填空题
4.(2023·北京·高考真题)设,函数,给出下列四个结论:
①在区间上单调递减;
②当时,存在最大值;
③设,则;
④设.若存在最小值,则a的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是.
参考答案:
1.C
【分析】结合等差数列性质将代换,求出直线恒过的定点,采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列,所以,,代入直线方程得
,即,令得,
故直线恒过,设,圆化为标准方程得:,
设圆心为,画出直线与圆的图形,由图可知,当时,AB最小,
,此时.
??
故选:C
2.D
【分析】求出圆心坐标,再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得,即,
则其圆心坐标为,则圆心到直线的距离为.
故选:D.
3.C
【分析】根据题意,由条件可得直线过定点,从而可得当时,AB的最小,结合勾股定理代入计算,即可求解.
【详解】因为直线,即,令,
则,所以直线过定点,设,
将圆化为标准式为,
所以圆心,半径,
当时,AB的最小,
此时.
故选:C
4.②③
【分析】先分析的图像,再逐一分析各结论;对于①,取,
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