专题44 两条直线的位置关系-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题44两条直线的位置关系（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 7

【考点1】两直线的平行与垂直 7

【考点2】两直线的交点与距离问题 13

【考点3】对称问题 16

【考点4】直线系方程的应用 24

【分层检测】 28

【基础篇】 28

【能力篇】 36

【培优篇】 38

考试要求：

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

知识梳理

知识梳理

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.

(2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系

(1)两直线的交点

点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.

(2)两直线的位置关系

方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解

一组

无数组

无解

直线l1与l2的公共点的个数

一个

无数个

零个

直线l1与l2的位置关系

相交

重合

平行

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).

特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).

(2)点到直线的距离公式

平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

4.对称问题

(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).

(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.

1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.

2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（????）

A．1 B．2 C．4 D．

2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

3．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题

4．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：

①在区间上单调递减；

②当时，存在最大值；

③设，则；

④设．若存在最小值，则a的取值范围是．

其中所有正确结论的序号是．

参考答案：

1．C

【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得

，即，令得，

故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，

设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，

，此时.

??

故选：C

2．D

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得，即，

则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.

故选：D.

3．C

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.

【详解】因为直线，即，令，

则，所以直线过定点，设，

将圆化为标准式为，

所以圆心，半径，

当时，AB的最小，

此时.

故选：C

4．②③

【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，