2024—2025学年上海交通大学附属中学高三上学期开学考试数学试卷.docVIP

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2024—2025学年上海交通大学附属中学高三上学期开学考试数学试卷

一、填空题

(★)1.已知全集,集合,,且,则实数a的取值范围是________.

(★)2.已知常数且,假设无论为何值,函数的图像恒经过一个定点,则这个点的坐标为______.

(★)3.用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为,那么n=______.

(★★)4.两正数a与b的几何平均值为2,则与的算术平均值的最小值为________.

(★★)5.已知二项式的展开式中存在常数项,正整数的最小值为______.

(★★)6.不等式的解集是______.

(★★★)7.已知等差数列的首项表示的前项和,若数列是严格增数列,则的公差取值范围是__________.

(★★)8.已知.若为奇函数,则__________.

(★★)9.满足定义域为且值域为的函数共有__________个.

(★★★)10.已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是,则______.

(★★★★)11.已知实数成公比为的等比数列,抛物线上每一点到直线的距离均大于,则的取值范围是__________.

(★★★★)12.在边长为1的正六边形中,以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为,以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为,若分别为的最小值?最大值,其中.则的值为__________.

二、单选题

(★★)13.若是关于的实系数方程的一根,则的值为()

A.-1

B.1

C.0

D.4

(★★)14.在中,若,则的形状一定是()

A.等边三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

(★★★)15.正方体有六个面,每个面有两条对角线,则这十二条对角线所在的十二条直线中,可以组成异面直线()

A.24对

B.30对

C.32对

D.64对

(★★★★)16.定义在上的函数和的最小周期分别是和,已知的最小正周期为1,则下列选项中可能成立的是()

A.

B.

C.

D.

三、解答题

(★★)17.如图,已知圆锥的顶点为,底面圆心为,高为,底面半径为2.

(1)求该圆锥的侧面积:

(2)设为该圆锥的底面半径,且为线段的中点,求直线与直线所成的角的余弦值.

(★★★)18.已知为常数.

(1)若为偶函数,求的值;

(2)设,若函数为减函数,求实数的取值范围.

(★★★)19.我国某西部地区进行沙漠治理,该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造为绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米.

(1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系;

(2)至少经过几年,绿洲面积可超过60%?()

(★★★★)20.已知抛物线的焦点为,过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为(从左到右).

(1)若抛物线的焦点与圆心重合,求抛物线的方程;

(2)若抛物线和圆只有一个公共点,求的取值范围;

(3)在(1)的条件下,的面积满足:,求弦的长.

(★★★★)21.已知函数的定义域为,若存在常数,使得对任意的,都有,则称函数具有性质.

(1)若函数具有性质,求:的值;

(2)设,求证:存在常数,使得具有性质;

(3)若函数具有性质,且的图像是一条连续不断的曲线,求证:函数的值域为.

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