2024—2025学年云南省大理州宾川县第四完全中学高三上学期开学测试数学试卷.docVIP

2024—2025学年云南省大理州宾川县第四完全中学高三上学期开学测试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若，则的虚部为（）

A．

B．3

C．

D．

(★★)3.已知向量，若，则（）

A．

B．0

C．1

D．2

(★★)4.如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（）

A．直线与直线是异面直线

B．直线与直线是异面直线

C．直线与直线共面

D．直线与直线共面

(★★)5.在的展开式中，含项的系数是，则（）

A．

B．0

C．

D．

(★★★)6.“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)7.已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（）

A．6

B．10

C．4

D．8

(★★★)8.已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.已知函数，则（）

A．为偶函数

B．

C．无零点

D．在上单调递减

(★★)10.晓余每天9:00上班，17:30下班.若晓余从家到公司所需时间（单位:分钟）服从正态分布，从公司到家所需时间（单位:分钟）服从正态分布，则下列结论正确的是（）（参考数据:若随机变量服从正态分布，则）

A．若晓余8:36从家出发去公司，则晓余迟到的概率大于0.02

B．若晓余8:42从家出发去公司，则晓余不迟到的概率小于0.2

C．若晓余17:40从公司出发回家，则晓余18:00后到家的概率小于0.97

D．若晓余17:30从公司出发回家，则晓余18:00前到家的概率大于0.8

(★★★)11.如图，球被一个距离球心的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为，两个球缺的体积分别为，则下列结论正确的是（）

A．若，则两个球缺的底面面积均为

B．若，则

C．若，则

D．若，则

三、填空题

(★★)12.曲线在点处的切线方程为____________.

(★★★)13.记为等差数列的前项和，若，则______

(★★★)14.如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为________

四、解答题

(★★)15.某品牌汽车4S店搞活动，消费者对圈圈套西瓜活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为.

(1)求甲恰好套中1个西瓜的概率；

(2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望.

(★★★)16.记的内角的对边分别为.已知.

(1)求；

(2)若，在边上存在一点，使得，求的长.

(★★★)17.如图，在多面体中，底面是边长为2的正方形，为底面的中心，为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，且.

(1)证明:平面

(2)若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

(★★)18.已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.

(1)求椭圆的方程.

(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.

(3)若为椭圆的上顶点，求的面积.

(★★★★★)19.已知对任意正整数，均有，我们称为次切比雪夫函数.

(1)若为3次切比雪夫函数，求的值.

(2)已知为次切比雪夫函数，若数列满足.证明：

①数列中的每一项均为的零点；

②当时，.