01第三章-第1节-中值定理.ppt

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6一、罗尔(Rolle)定理例如,

7点击图片任意处播放\暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:

8证

9注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,

10例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,

12设在[0,]上连续,在(0,)内可导,证明至少存在一点ξ∈(0,),使得=证明:只要证明由罗尔定理,至少存在一点

15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

16几何解释:证分析:弦AB方程为

17作辅助函数拉格朗日中值公式注意:1、

18拉格朗日中值定理又称有限增量定理.

19证:在I上任取两点定理3在上用拉格朗日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数

20例5证

21例6证由上式得

24证明对任意证明：不妨设因为

25三、柯西(Cauchy)中值定理

26几何解释:证作辅助函数

28例4证分析:结论可变形为

29四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.

31思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.

32思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.

33练习题

36练习题答案

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