N次方根与分数指数幂Word版含答案.docVIP

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

4.1.1n次方根与分数指数幂

教学设计

一、教学目标

1.理解n次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.

2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.

3.掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.

二、教学重难点

1.教学重点

根式、分数指数幂概念的理解;

掌握并运用分数指数幂的运算性质.

2.教学难点

有理数指数幂运算性质的应用.

三、教学过程

（一）新课导入

让我们回顾一下初过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?

教师引导学生回答并归纳：若x2=a，则x叫作a的平方根.同理，若x3=a，则x叫作a的立方根.

（二）探索新知

探究一:n次方根的概念

我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n次方根的概念：

一般的，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n﹥1，且n.

教师提问，n的取值会影响n次方根的值吗?

学生讨论，自行归纳出结果：

当n为偶数时，正数a的n次方根中，正的n次方根用表示，负的n次方根用-表示；

当n为奇数时，a的n次方根用符号表示.

教师讲解：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

探究二：正数的分数指数幂的意义

大家观察以下式子，能否总结出一些规律?

（a﹥0）,

（a﹥0）,

（a﹥0）.

学生讨论.

教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?

例：（a﹥0）,

（b﹥0）,

（c﹥0）

由此得出结论:（a﹥0，﹥1）.

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：

（a﹥0，﹥1）.

注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

探究三：正数的分数指数幂的运算

类比平方根，立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?

学生类比初过的知识讨论总结:

a为正数时，

a为负数时，

0的n次方根为0，记为.

例：16的四次方根为2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.

教师总结：一个数到底有没有n次方根，有几个n次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n为奇数还是偶数两种情况

根据n次方根的意义可得，一定成立.

那么同学们思考：表示的n次方根，等式一定成立吗?如果不一定成立，那么等于什么呢?

例：，

.

教师引导学生讨论并总结:n为奇数时，；

n为偶数时，

探究四：有理指数幂的运算

由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即：

（三）课堂练习

1.求下列各式的值：

(1)

(2)

(3)

(4)

2.求值

（1）

(2)

3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.

（1）

（2）

（四）小结作业

小结：

本节课我们主要学习了哪些内容?

1.掌握n次方根的概念；

2.掌握两个公式；

3.根式与指数幂的形式互化；

4.有理指数幂的运算性质.

四、板书设计

1.n次方根与根式的概念；

2.掌握两个公式；

3.根式与指数幂的形式互化；

4.有理指数幂的运算性质.