第01讲二次函数(原卷版+解析).docxVIP

第01讲二次函数

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数.

若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1.一般式：（，，为常数，）；

2.顶点式：（，，为常数，）；

3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

要点：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

要点：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（???????）

A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+

例2．函数是关于x的二次函数，则m的值是（???????）

A．3 B． C． D．或3

例3．下列函数关系中，是二次函数的是（???????）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D．半圆面积S与半径R之间的关系

例4．在半径为4cm的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（????????）

A． B． C． D．

例5．当函数是二次函数时，a的取值为（）

A． B． C． D．

例6．二次函数，当函数值为2时，自变量的值是（）

A．x=-2 B．x=2 C．x=1 D．x=-1

例7．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是(???????)

A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a0，b≠0，c≠0

C．a0，b≠0，c≠0 D．a≠0

例8．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（???????）

A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2

C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1

例9．已知二次函数的与的部分对应值如下表：

…

0

2

6

…

…

2

6

2

…

当时，的值是（???????）A． B． C．2 D．6

例10．若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（???）

A． B． C． D．

例11．抛物线过三点，求抛物线的解析式__________．

例12．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________．

一、单选题

1．下列函数是y关于x的二次函数的是（????）

A． B．

C． D．

2．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（???）

A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm

B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

3．已知是二次函数，则的值为（????）

A．0 B．1 C．－1 D．1或－1

4．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（）

A．正比例函数 B．一次函数

C．二次函数 D．以上均不正确

5．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（????）

A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0