第04讲二次函数的性质综合(4种题型)(原卷版+解析).docxVIP

第04讲二次函数的性质综合（4种题型）

【知识梳理】

一．二次函数的性质

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．

②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．

③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．

二．二次函数图象上点的坐标特征

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．

①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．

三．二次函数的最值

（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．

（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．

四．待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式．

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

五．二次函数的三种形式

二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；

②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；

③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．

【考点剖析】

一．二次函数的性质（共17小题）

1．（2022秋?金东区期末）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（）

A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝﹣ D．x＝﹣1

2．（2023?龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），下列选项正确的是（）

A．若对称轴为直线x＝1，则a＜0 B．若对称轴为直线x＝2，则a＜0

C．若对称轴为直线x＝3，则a＜0 D．若对称轴为直线x＝4，则a＞0

3．（2022秋?西湖区期末）设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（）

A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2

C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1

4．（2023?长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）

A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）

5．（2022秋?温州期末）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（）

A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1）

6．（2023?婺城区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）

A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣