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第06讲实际问题与一元二次方程(6种题型)
【知识梳理】
列一元二次方程解应用题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤:
审(审题目,分清已知量、未知量、等量关系等);
设(设未知数,有时会用未知数表示相关的量);
列(根据题目中的等量关系,列出方程);
解(解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰);
验(检验方程的解能否保证实际问题有意义)
答(写出答案,切忌答非所问).
要点诠释:列方程解实际问题的三个重要环节:
一是整体地、系统地审题;
二是把握问题中的等量关系;
三是正确求解方程并检验解的合理性.
【考点剖析】
题型1:增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要理清原来数、后来数、增长率或降低率,以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程,那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题:
平均增长率公式为(a为原来数,x为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量.)
(2)降低率问题:
平均降低率公式为(a为原来数,x为平均降低率,n为降低次数,b为降低后的量.)
例1.(2022?宁夏)受国际油价影响,今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2元/升,五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x,根据题意列出方程,正确的是()
A.6.2(1+x)2=8.9
B.8.9(1+x)2=6.2
C.6.2(1+x2)=8.9
D.6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9
例2.(2022?上海)某公司5月份的营业额为25万,7月份的营业额为36万,已知5、6月的增长率相同,则增长率为.
例3.随着国家“惠民政策”的陆续出台,为了切实让老百姓得到实惠,国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为,某种药品原价200元/瓶,经过连续两次降价后,现在仅卖98元/瓶,现假定两次降价的百分率相同,求该种药品平均每场降价的百分率.
例4.(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)今年五一“网红长沙”再次火出“圈”,27个旅游景区五天累计接待游客万人,成为全国十大必到城市之一.长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡,某网红火锅店五一期间生意火爆,第2天营业额达到10万元,第4天营业额为万元,据估计第3天、第4天营业额的增长率相同.
(1)求该网红店第3,4天营业额的平均增长率;
(2)若第1天的营业额为万元,第五天由于游客人数下降,营业额是前四天总营业额的,求该网红店第5天营业额.
题型2:面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题,解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,根据图形的面积或体积公式,找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
例5.如图,有一面积是150平方米的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边(门除外)用竹篱笆围成,篱笆总长33米.求鸡场的长和宽各多少米?
例6.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?
例7.(2022?德州)如图,某小区矩形绿地的长宽分别为35m,15m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.
(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m,求新的矩形绿地的长与宽;
(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3.求新的矩形绿地面积.
例8.(2022?泰州)如图,在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2,道路的宽应为多少?
题型3:数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是:个位、十位、百位、千位……,它们数位上的单位从右至左依次分别为:1、10、100、1000、……,数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数,而最高位上的数不能为0.因此,任何一个多位数,都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示,这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如:一个三位数,个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为:100c+10b+a.
(2)几个连续整数中,相邻两个整数相差1.
如:三个连续整数,设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1.
几个连续偶数(或奇数)中,相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如:三个连续偶数(奇数),设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.
例9.已知两个数的和等于12,积等于32,求这两个数是多少.
例10.一个两位数是一个
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