专题2 绝对值-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练(原卷版).pdf

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专题2绝对值

一、绝对值的化简

【学霸笔记】

1.一个正数的绝对值是它的本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,关系如下:

2.绝对值可以与数轴结合起来,可用于表示距离,如:表示数a到原点的距离,表示数a与数b

间的距离;

3.绝对值的性质

①;②;③;④;⑤

【典例】

||||||||||||||

若a+b+c=0,则++++++的值为()

A.﹣7B.﹣1C.1D.7

【解答】解:∵a+b+c=0,

∴a,b,c中两正一负或一正两负,

假设a>0,b>0,c<0,原式=1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1=﹣1,其他情况同理值为﹣1;

假设a>0,b<0,c<0,原式=1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1=﹣1,其他情况同理值为﹣1,

故选:B.

【巩固】

数形结合是一种重要的数学方法,如在化简|a|时,当a在数轴上位于原点的右侧时,|a|=a;当a在数轴

上位于原点时,|a|=0;当a在数轴上位于原点的左侧时,|a|=﹣a.当a,b,c三个数在数轴上的位置

如图所示,试用这种方法解决下列问题.

||||

(1)当a=1时,求=,当b=﹣2时,求=.

||||||

(2)请根据a,b,c三个数在数轴上的位置,求++的值.

(3)请根据a,b,c三个数在数轴上的位置,化简:|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|.

二、绝对值的非负性

【学霸笔记】

不小于0的数(或大于等于0的数)称为非负数,具有以下性质:

(1)非负数具有最小值0;

(2)若几个非负数的和为0,那么每个非负数均为0;

(3)任何数的绝对值都大于等于0,即任何数的绝对值都是非负数.

【典例】有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示,给出下面四个命题:

(1)abc<0

(2)|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|

(3)(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)>0

(4)|a|<1﹣bc

其中正确的命题有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解:由图可知c<﹣1<0,0<a<b<1,

(1)命题abc<0正确;

(2)在命题中a﹣b<0,b﹣c>0,所以|a﹣b|+|b﹣c|=﹣(a﹣b)+(b﹣c)=2b﹣a﹣c.

又因为a﹣c>0,所以|a﹣c|=a﹣c.左边≠右边,故错误;

(3)在该命题中,因为a﹣b<0,b﹣c>0,c﹣a<0,所以(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)>0,故正确;

(4)在命题中,|a|<1,bc<0,

∴1﹣bc>1,

所以|a|<1﹣bc,故该命题正确.

所以正确的有命题①③④这三个.

故选:B.

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