专题08 奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题08奇偶性、对称性与周期性（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 12

【考点1】函数的奇偶性 12

【考点2】函数的周期性及应用 16

【考点3】函数的对称性 22

【考点4】函数性质的综合应用 28

【分层检测】 33

【基础篇】 33

【能力篇】 40

【培优篇】 42

考试要求：

1.理解函数奇偶性的含义.

2.了解函数的最小正周期的含义.

3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.

知识梳理

知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

1.函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0).

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0).

2.对称性的四个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（????）

A． B． C．1 D．2

2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（????）．

A． B．0 C． D．1

3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（????）

A． B． C．0 D．1

4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（????）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（????）

A． B． C． D．

6．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

7．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（????）．

A． B．

C．是偶函数 D．为的极小值点

8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（????）

A． B． C． D．

三、填空题

9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．

10．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数．

①；②当时，；③是奇函数．

11．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则.

参考答案：

1．D

【分析】

根据偶函数的定义运算求解.

【详解】

因为为偶函数，则，

又因为不恒为0，可得，即，

则，即，解得.

故选：D.

2．B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.

【详解】因为为偶函数，则，解得，

当时，，，解得或，

则其定义域为或，关于原点对称.

，

故此时为偶函数.

故选：B.

3．A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．

【详解】[方法一]：赋值加性质

因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．故选：A．

[方法二]：【最优解】构造特殊函数

由，联想到余弦函数和差化积