专题10 指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题10指数与指数函数（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 8

【考点1】指数幂的运算 8

【考点2】指数函数的图象及应用 12

【考点3】指数函数的性质及应用 17

【分层检测】 22

【基础篇】 22

【能力篇】 29

【培优篇】 33

考试要求：

1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.

3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.

知识梳理

知识梳理

1.根式的概念及性质

(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)①负数没有偶次方根.

②0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.

③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1).

④eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).

⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0))(n为大于1的偶数).

2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

3.指数幂的运算性质

实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈R.

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图象关于y轴对称

1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).

2.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.

3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（????）

A． B． C．1 D．2

3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（????）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

6．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（????）

A． B．

C． D．

7．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

参考答案：

1．D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，

则有函数在区间上单调递减，因此，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

2．D

【分析】

根据偶函数的定义运算求解.

【详解】

因为为偶函数，则，

又因为不恒为0，可得，即，

则，即，解得.

故选：D.

3．A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令，则开口向下，对称轴为，

因为，而，

所以，即

由二次函数性质知，

因为，而，

即，所以，

综上，，

又为增函数，故，即.

故选：A.

4．A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数，则，

令，解得，由知.

在上单调递增，所以，即，

又因为，所