专题13 函数与方程-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题13函数与方程（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 8

【考点1】函数零点所在区间的判断 8

【考点2】函数零点个数的判定 12

【考点3】函数零点的应用 18

【分层检测】 26

【基础篇】 26

【能力篇】 33

【培优篇】 38

考试要求：

1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

知识梳理

知识梳理

1.函数的零点

(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

2.函数零点存在定理

(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)0.

(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.

2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

2．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（????）．

A． B． C． D．

三、填空题

3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．

4．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为．

5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则；．

6．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为.

参考答案：

1．A

【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.

【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，

由可得，

由可得，

（1）时，当时，有4个零点，即；

当，有5个零点，即；

当，有6个零点，即；

（2）当时，，

，

当时，，无零点；

当时，，有1个零点；

当时，令，则，此时有2个零点；

所以若时，有1个零点.

综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足

或或，

则可解得a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.

2．BCD

【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，

因此方程有两个不等的正根，

于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.

故选：BCD

3．

【分析】

令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【详解】

因为，所以，

令，则有3个根，

令，则有3个根，其中，

结合余弦函数的图像性质可得，故，

故答案为：.

4．

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．

【详解】（1）当时，，

即，

若时，，此时成立；

若时，或，

若方程有一根为，则，即且；

若方程有一根为，则，解得：且；

若时，，此时成立．

（2）当时，，

即，

若时，，显然不成立；

若时，或，

若方程有一根为，则，即；

若方程有一根为，则，解得：；

若时，，显然不成立；

综上，

当时，零点为，；

当时，零点为，；

当时，只有一个零点；

当时，零点为，；

当时，只有一个零点；

当时，零点为，；

当时，零点为．

所以，当函数有两个零点时，且．

故答案为：．

【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．

5．1

【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.

【详解】∵，∴

∴

故答案为：1，

6．

【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.

【详解】设，，由可得.

要使得函数至少有