模型11手拉手模型(原卷版+解析).docxVIP

模型介绍

模型介绍

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：

?（1）寻找公共的顶点

?（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边

?（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形

*常见结论：

连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：

【专题说明】

两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】

【基本模型】

一、等边三角形手拉手-出全等

图1图2

图3图4

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：

①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

图1图2

图3图4

手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

手拉手模型特点：“两等腰，共顶点”

模型探究：

例题精讲

例题精讲

考点一：等边三角形中的手拉手模型

【例1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．有下列结论：

①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ为正三角形．

其中正确的结论有_____________.

?变式训练

【变式1-1】．如图，，都是等边三角形，则的度数是

A． B． C． D．

【变式1-2】．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有（）

A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【变式1-3】．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝．

考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型

【例2】．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点，若，，则的长为__________

?变式训练

【变式2-1】．如图，，，连结，分别以、为直角边作等腰和等腰，连结、，当最长时，的长为

A． B．3 C． D．

【变式2-2】．如图，在中，，点为中点，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（填序号）．

考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型

【例3】．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：

∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是_____．

?变式训练

【变式3-1】．如图，等腰中，，，点为直线上一动点，以线段为腰在右侧作等腰，且，连接，则的最小值为

A． B．4 C．6 D．8

【变式3-2】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为边BC（不含端点）上的任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE．设AC与DE交于点F，则线段CF的最大值为．

【变式3-3】.【问题背景】

（1）如图1，等腰中，，，于点，则；

【知识应用】

（2）如图2，和都是等腰三角形，，、、三点在同一条直线上，连接．求证：．

（3）请写出线段，，之间的等量关系，并说明理由．

实战演练

实战演练

1.风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知，，，那么与相等．小飞直接证明，他的证明依据是

A． B． C． D．

2．如图，，都是等边三角