专题23 简单的三角恒等变换-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题23简单的三角恒等变换（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 7

【考点1】三角函数式的化简 7

【考点2】三角函数求值问题 11

【考点3】三角恒等变换的应用 14

【分层检测】 19

【基础篇】 19

【能力篇】 26

【培优篇】 30

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知，则（????）．

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（????）

A．1 B． C． D．

3．（2021·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

二、解答题

4．（2023·北京·高考真题）设函数．

(1)若，求的值．

(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．

条件①：；

条件②：；

条件③：在区间上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

5．（2021·浙江·高考真题）设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最大值.

参考答案：

1．B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为，而，因此，

则，

所以.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

2．B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，

因为，则，

可得，

则，

，

即为钝角，

所以；

法二：圆的圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，连接，

可得，则，

因为

且，则，

即，解得，

即为钝角，则，

且为锐角，所以；

方法三：圆的圆心，半径，

若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为，即，

则，整理得，且

设两切线斜率分别为，则，

可得，

所以，即，可得，

则，

且，则，解得.

故选：B.

????

3．C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

4．(1).

(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.

【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；

（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．

【详解】（1）因为

所以，

因为，所以.

（2）因为，

所以，所以的最大值为，最小值为.

若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；

若选条件②：因为在上单调递增，且，

所以,所以,,

所以，

又因为，所以，

所以，

所以，因为，所以.

所以，；

若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最小值，即.

以下与条件②相同．

5．（1）；（2）.

【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】（1）由辅助角公式得，

则，

所以该函数的最小正周期;

（2）由题意，

，

由可得，

所以当即时，函数取最大值.

考点突破

考点突破

【考点1】三角函数式的化简

一、单选题

1．（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（????）

A． B．

C． D．

2．（2024·江西景德镇·三模）函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2