模型28阿基米德折弦定理(原卷版+解析).docxVIP

模型介绍

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【问题呈现】

阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

?如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

【证明方法】

方法1:补短法

如图，延长DB至F，使BF=BA

∵M是的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵M、B、A、C四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180°

∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵MB=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC

∵MD⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2:截长法

如图，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

又∠MGB=∠MCB+∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC∴△MBA≌△MGC(SAS)

∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD

方法3:垂线法

如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。

∵M是的中点∴MA=MC

∵MD⊥BC∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC(AAS)

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)

∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD

例题精讲

例题精讲

【例1】．已知M是的中点，B为上任意一点，B不与A、M重合，且MD⊥BC于D．BD＝2，CD＝6，求AB的长．

?变式训练

【变式1-1】．如图，是劣弧，M是的中点，B为上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD＝DC．

【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：

如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．

如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的

外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝°．

【例2】．如图，AC，BC是⊙O的两条弦，M是的中点，作MF⊥AC，垂足为F，若BC＝，

AC＝3，则AF＝．

【变式2-1】．如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为的中点．求证：AD2＝AC?BC+CD2．

【变式2-2】．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝．

（1）求AB的长度；

（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD?AE的值是否变化？若不变，请求出AD?AE的值；若变化，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．

1．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（）

A．10 B．8﹣3 C．6+3 D．3+5

2．在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圆上弧ACB的中点，AC上的点X使得MX⊥AC，AC＝10，XC＝3，则BC＝．

3．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．

4．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．

5．已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD＝DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．

6．如图，在⊙O中，AB＝AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合），连接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．

（1）若AC＝4，求⊙O的半径；

（2）写出DA、DB、DC之间的关系，并证明．

7．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是上一点，

（1）填空：∠APC＝度，∠BPC＝度；

（2）若⊙O的半径为4，求等边△ABC的面积；

（3）求